微分積分例

$x^{4} - 3 x^{2} + 2$

ステップ 1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 6 x + 0$

ステップ 1.3.2

$4 x^{3} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 6 x$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

$2 x$ を $4 x^{3} - 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$2 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

ステップ 2.1.2

$2 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

ステップ 2.1.3

$2 x$ を $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$2 x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x^{2} = 3$

ステップ 2.4.2.2

$2 x^{2} = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x^{2} = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.4.2.4

$\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.1

$\sqrt{\frac{3}{2}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2.4.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2.4.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.4.2.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.4.2.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.4.2.4.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.2.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.4.2.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.4.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.2.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.2.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.4.2.4.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

ステップ 2.4.2.4.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 2.4.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 2.4.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 2.4.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 2.5

最終解は $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 3

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2$

ステップ 3.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

ステップ 3.2.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 2$

ステップ 3.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 2$

ステップ 3.2.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$f (0) = 2$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 4

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ における元の関数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1.2.1

${\sqrt{6}}^{4}$ を $6^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.4

$36$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

ステップ 4.2.1.5

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 2$

ステップ 4.2.1.6

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2$

ステップ 4.2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2$

ステップ 4.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

ステップ 4.2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

ステップ 4.2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

ステップ 4.2.1.6.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

ステップ 4.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 2$

ステップ 4.2.1.8

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.8.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 2$

ステップ 4.2.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.8.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

ステップ 4.2.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

ステップ 4.2.1.8.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 2$

ステップ 4.2.1.9

$- 3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.9.1

$- 3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.9.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2$

ステップ 4.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.2.2.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{9}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2$

ステップ 4.2.2.3

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

ステップ 4.2.2.4

$\frac{2}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.2.2.5

$\frac{2}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 8}{4}$

ステップ 4.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$9$ から $18$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 + 8}{4}$

ステップ 4.2.5.2

$- 9$ と $8$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$

ステップ 4.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{1}{4}$

ステップ 4.2.6

最終的な答えは $- \frac{1}{4}$ です。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ の水平接線は $y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$ です。

$y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例