微分積分例

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

ステップ 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

ステップ 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

ステップ 2.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $y^{6} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

ステップ 2.2.3.2

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $y^{2} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y y' + 12 \cdot 1$

ステップ 2.3.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$2 y y' + 12$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

ステップ 2.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

方程式の両辺から $2 y y'$ を引きます。

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.3

$2 y y'$ を $6 y^{5} y' - 2 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$2 y y'$ を $6 y^{5} y'$ で因数分解します。

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.3.2

$2 y y'$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.3.3

$2 y y'$ を $2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.4

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ の各項を $2 y (3 y^{4} - 1)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ の各項を $2 y (3 y^{4} - 1)$ で割ります。

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.2.3

$3 y^{4} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.3.1.1

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.3.1.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y (3 y^{4} - 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.5.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 2.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ を引きます。

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 3.2

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ を $1$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

ステップ 3.2.3.2

$\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ を $1$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

ステップ 3.3

両辺に $2 y (3 y^{4} - 1)$ を掛けます。

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.2.1

$2$ を $2 y (3 y^{4} - 1)$ で因数分解します。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.1.1.3

$y (3 y^{4} - 1)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.1.1.3.2

式を書き換えます。

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.2.1.2

$2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.1

$2$ と $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ をまとめます。

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.2.1.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.2.1.3

$y (3 y^{4} - 1)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

ステップ 3.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$3 x^{2} = 12$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

$3 x^{2} = 12$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$3 x^{2} = 12$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

ステップ 3.5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

ステップ 3.5.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{12}{3}$

ステップ 3.5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.3.1

$12$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 3.5.3

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.5.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 3.5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 3.5.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 3.5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$12$ に $2$ をかけます。

$f (2) = y^{2} + 24$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $y^{2} + 24$ です。

$y^{2} + 24$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$12$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = y^{2} - 24$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $y^{2} - 24$ です。

$y^{2} - 24$

ステップ 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例