微分積分例

$y^{2} - x y - 12 = 0$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2

$a = 1$ 、 $b = - x$ 、および $c = - 12$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.4.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.4.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

ステップ 1.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.4.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

ステップ 1.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1.4.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

ステップ 1.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

ステップ 1.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $y^{2} - x y - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 3.2.4

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

ステップ 3.2.5

簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

分配則を当てはめます。

$2 y y' - (x y') - y + 0$

ステップ 3.2.5.2

$2 y y' - x y' - y$ と $0$ をたし算します。

$2 y y' - x y' - y$

ステップ 3.3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' - x y' - y = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$2 y y' - x y' = y$

ステップ 3.5.2

$y'$ を $2 y y' - x y'$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.2.1

$y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) - x y' = y$

ステップ 3.5.2.2

$y'$ を $- x y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

ステップ 3.5.2.3

$y'$ を $y' (2 y) + y' (- x)$ で因数分解します。

$y' (2 y - x) = y$

ステップ 3.5.3

$y' (2 y - x) = y$ の各項を $2 y - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$y' (2 y - x) = y$ の各項を $2 y - x$ で割ります。

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$2 y - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

ステップ 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例