微分積分例

$x^{3} - 27 x$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 27 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 27 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 27 x$ の微分係数は $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 27 \cdot 1$

ステップ 1.2.3

$- 27$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 27$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 27 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $27$ を足します。

$3 x^{2} = 27$

ステップ 2.2

$3 x^{2} = 27$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3 x^{2} = 27$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{27}{3}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$27$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 9$

ステップ 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 2.4

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 3

$x = 3$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 27 x$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{3} - 27 \cdot 3$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 27 - 27 \cdot 3$

ステップ 3.2.1.2

$- 27$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 27 - 81$

ステップ 3.2.2

$27$ から $81$ を引きます。

$f (3) = - 54$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $- 54$ です。

$- 54$

ステップ 4

$x = - 3$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 27 x$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = - 27 - 27 \cdot - 3$

ステップ 4.2.1.2

$- 27$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = - 27 + 81$

ステップ 4.2.2

$- 27$ と $81$ をたし算します。

$f (- 3) = 54$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $54$ です。

$54$

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{3} - 27 x$ の水平接線は $y = - 54, y = 54$ です。

$y = - 54, y = 54$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例