微分積分例

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$

ステップ 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ as a function of $x$ .

$y = 0 \to f (x) = 0$

ステップ 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.2.1

微分します。

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ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x y$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

ステップ 2.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

ステップ 2.3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

ステップ 2.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

ステップ 2.5.1.2

方程式の両辺に $9 y$ を足します。

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

ステップ 2.5.2

$3 y'$ を $3 y^{2} y' - 9 x y'$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.2.1

$3 y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

ステップ 2.5.2.2

$3 y'$ を $- 9 x y'$ で因数分解します。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

ステップ 2.5.2.3

$3 y'$ を $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ で因数分解します。

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

ステップ 2.5.3

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ の各項を $3 (y^{2} - 3 x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ の各項を $3 (y^{2} - 3 x)$ で割ります。

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.2.2

$y^{2} - 3 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.3.3.1.1

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.3.1.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.3.1.3

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.3.1.3.1

$3$ を $9 y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

ステップ 2.5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 2.5.3.3.2

項を簡約します。

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ステップ 2.5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 2.5.3.3.2.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 2.5.3.3.2.3

$- 1$ を $3 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 2.5.3.3.2.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 3 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 2.5.3.3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.3.3.2.5.1

$- (x^{2} - 3 y)$ を $- 1 (x^{2} - 3 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 2.5.3.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 2.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

分子を0に等しくします。

$x^{2} - 3 y = 0$

ステップ 3.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $3 y$ を足します。

$x^{2} = 3 y$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{3 y}$

ステップ 3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3 y}$

ステップ 3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3 y}$

ステップ 3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

ステップ 4

Solve the function $f (x) = 0$ at $x = \sqrt{3 y}$ .

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{3 y}$ で置換えます。

$f (\sqrt{3 y}) = 0$

ステップ 4.2

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 5

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

ステップ 6

微分積分 例

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