微分積分例

$x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} - x y + 2 y^{2} - 1 = 0$

ステップ 1.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.3

$a = 2$ 、 $b = - x$ 、および $c = x^{2} - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 1))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.6

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.1.7

$x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.1.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.1.6

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.1.7

$x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 1.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 1.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.1.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.1.6

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.1.7

$x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 1.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 1.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

微分します。

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ステップ 3.2.1.1

総和則では、 $x^{2} - x y + 2 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 x - (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x - (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y y')$

ステップ 3.2.3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x - (x y' + y) + 4 y y'$

ステップ 3.2.4

簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

分配則を当てはめます。

$2 x - (x y') - y + 4 y y'$

ステップ 3.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 x - x y' - y + 4 y y'$

ステップ 3.2.4.3

項を並べ替えます。

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$- x y' + 4 y y' - y = - 2 x$

ステップ 3.5.1.2

方程式の両辺に $y$ を足します。

$- x y' + 4 y y' = - 2 x + y$

ステップ 3.5.2

$y'$ を $- x y' + 4 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$y'$ を $- x y'$ で因数分解します。

$y' (- x) + 4 y y' = - 2 x + y$

ステップ 3.5.2.2

$y'$ を $4 y y'$ で因数分解します。

$y' (- x) + y' (4 y) = - 2 x + y$

ステップ 3.5.2.3

$y'$ を $y' (- x) + y' (4 y)$ で因数分解します。

$y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$

ステップ 3.5.3

$y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ の各項を $- x + 4 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ の各項を $- x + 4 y$ で割ります。

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$- x + 4 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x + 4 y}$

ステップ 3.5.3.3.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x + 4 y}$

ステップ 3.5.3.3.3

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x + 4 y}$

ステップ 3.5.3.3.4

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x + 4 y}$

ステップ 3.5.3.3.5

$- (2 x - y)$ を $- 1 (2 x - y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x + 4 y}$

ステップ 3.5.3.3.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) + 4 y}$

ステップ 3.5.3.3.7

$- 1$ を $4 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (- 4 y)}$

ステップ 3.5.3.3.8

$- 1$ を $- (x) - (- 4 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x - 4 y)}$

ステップ 3.5.3.3.9

$- (x - 4 y)$ を $- 1 (x - 4 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

ステップ 3.5.3.3.10

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

ステップ 3.5.3.3.11

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x - y}{x - 4 y} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

分子を0に等しくします。

$2 x - y = 0$

ステップ 4.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$2 x = y$

ステップ 4.2.2

$2 x = y$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2 x = y$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{y}{2}$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{y}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) + \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

ステップ 5.2.1.3

$- 7$ と $\frac{y^{2}}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

ステップ 5.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

ステップ 5.2.1.5

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

ステップ 5.2.1.6

$8$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

ステップ 5.2.1.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

ステップ 5.2.1.8

$8$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

ステップ 5.2.1.9

$\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.1.9.1

$- 7 y^{2} + 32$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

ステップ 5.2.1.9.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

ステップ 5.2.1.9.3

分数 $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

ステップ 5.2.1.10

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{4}$

ステップ 5.2.1.11

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

ステップ 5.2.1.12

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

ステップ 5.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.3

$\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ です。

$\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{y}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) - \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

ステップ 6.2.1.3

$- 7$ と $\frac{y^{2}}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

ステップ 6.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

ステップ 6.2.1.5

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

ステップ 6.2.1.6

$8$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

ステップ 6.2.1.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

ステップ 6.2.1.8

$8$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

ステップ 6.2.1.9

$\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.9.1

$- 7 y^{2} + 32$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

ステップ 6.2.1.9.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

ステップ 6.2.1.9.3

分数 $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

ステップ 6.2.1.10

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32})}{4}$

ステップ 6.2.1.11

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

ステップ 6.2.1.12

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

ステップ 6.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 6.2.3

$\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ です。

$\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

$y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例