微分積分例

$x^{3} + y^{3} = 7$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$y^{3} = 7 - x^{3}$

ステップ 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

微分します。

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ステップ 3.2.1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

ステップ 3.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

ステップ 3.5.2

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ の各項を $3 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ の各項を $3 y^{2}$ で割ります。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$3$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

分子を0に等しくします。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

ステップ 5.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

ステップ 5.2.3

$7$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\sqrt[3]{7}$ です。

$\sqrt[3]{7}$

ステップ 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = \sqrt[3]{7}$

10進法形式：

$y = 1.91293118 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例