微分積分例

$x^{2} + x y + y^{2} = 9$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} + x y + y^{2} - 9 = 0$

ステップ 1.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.3

$a = 1$ 、 $b = x$ 、および $c = x^{2} - 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 9))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5

$3$ を $- 3 x^{2} + 36$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1.5.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5.2

$3$ を $36$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5.3

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5

$3$ を $- 3 x^{2} + 36$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.1.5.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5.2

$3$ を $36$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5.3

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.5.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.5.5

$- 1$ を $\sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

ステップ 1.5.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

ステップ 1.5.7

$- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ を $- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

ステップ 1.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.3

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.4

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.5

$3$ を $- 3 x^{2} + 36$ で因数分解します。

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ステップ 1.6.1.5.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.5.2

$3$ を $36$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.1.5.3

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ で因数分解します。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.6.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.6.5

$- 1$ を $- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

ステップ 1.6.6

$- 1$ を $- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

ステップ 1.6.7

$- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ を $- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

ステップ 1.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 1.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 9$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

微分します。

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ステップ 3.2.1.1

総和則では、 $x^{2} + x y + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

ステップ 3.2.4

項を並べ替えます。

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

ステップ 3.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

ステップ 3.5.1.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

ステップ 3.5.2

$y'$ を $x y' + 2 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.2.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

ステップ 3.5.2.2

$y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

ステップ 3.5.2.3

$y'$ を $y' (x) + y' (2 y)$ で因数分解します。

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

ステップ 3.5.3

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ の各項を $x + 2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ の各項を $x + 2 y$ で割ります。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$x + 2 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

ステップ 3.5.3.3.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

ステップ 3.5.3.3.3

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

ステップ 3.5.3.3.4

$- 1$ を $- (2 x) - (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

ステップ 3.5.3.3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.3.3.5.1

$- (2 x + y)$ を $- 1 (2 x + y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

ステップ 3.5.3.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

分子を0に等しくします。

$2 x + y = 0$

ステップ 4.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$2 x = - y$

ステップ 4.2.2

$2 x = - y$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2 x = - y$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y}{2}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y}{2}$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- \frac{y}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

ステップ 5.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

ステップ 5.2.1.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 5.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

ステップ 5.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

ステップ 5.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

ステップ 5.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

ステップ 5.2.1.5

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

ステップ 5.2.1.6

$12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

ステップ 5.2.1.7

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

ステップ 5.2.1.8

$12$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

ステップ 5.2.1.9

$3$ と $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

ステップ 5.2.1.10

$\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.1.10.1

$3 (- y^{2} + 48)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

ステップ 5.2.1.10.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

ステップ 5.2.1.10.3

分数 $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

ステップ 5.2.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{2}$

ステップ 5.2.1.12

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

ステップ 5.2.1.13

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

ステップ 5.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.3

$\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1

$\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 5.2.4

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 5.2.5

$- 1$ を $- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

ステップ 5.2.6

$- 1$ を $- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

ステップ 5.2.7

式を簡約します。

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ステップ 5.2.7.1

$- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ を $- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

ステップ 5.2.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 5.2.7.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

ステップ 5.2.7.4

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 5.2.8

最終的な答えは $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ です。

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{y}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

ステップ 6.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

ステップ 6.2.1.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 6.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

ステップ 6.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

ステップ 6.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

ステップ 6.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

ステップ 6.2.1.5

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

ステップ 6.2.1.6

$12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

ステップ 6.2.1.7

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

ステップ 6.2.1.8

$12$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

ステップ 6.2.1.9

$3$ と $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

ステップ 6.2.1.10

$\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.1.10.1

$3 (- y^{2} + 48)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

ステップ 6.2.1.10.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

ステップ 6.2.1.10.3

分数 $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

ステップ 6.2.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$

ステップ 6.2.1.12

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

ステップ 6.2.1.13

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

ステップ 6.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.3

$\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1

$\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 6.2.4

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 6.2.5

$- 1$ を $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

ステップ 6.2.6

$- 1$ を $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ で因数分解します。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

ステップ 6.2.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

$- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ を $- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ に書き換えます。

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

ステップ 6.2.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 6.2.7.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

ステップ 6.2.7.4

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 6.2.8

最終的な答えは $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ です。

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例