微分積分例

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

ステップ 1.2

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

ステップ 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

ステップ 1.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

ステップ 1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

ステップ 1.4.3

$\frac{1^{2}}{3^{2}}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

ステップ 1.4.4

$\frac{x^{2}}{9}$ を ${(\frac{x}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

ステップ 1.4.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{3}$ であり、 $b = \frac{x}{3}$ です。

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

ステップ 1.4.6

項を簡約します。

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ステップ 1.4.6.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

ステップ 1.4.6.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

ステップ 1.4.6.3

$\frac{1 + x}{3}$ に $\frac{1 - x}{3}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

ステップ 1.4.6.4

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

ステップ 1.4.7

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.7.1

$(1 + x) (1 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

ステップ 1.4.7.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 1.4.7.3

分数 $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

ステップ 1.4.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.4.9

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

ステップ 1.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

ステップ 1.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

ステップ 1.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

微分します。

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ステップ 3.2.1.1

総和則では、 $x^{2} + 9 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 y^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 9 (2 y y')$

ステップ 3.2.2.4

$2$ に $9$ をかけます。

$2 x + 18 y y'$

ステップ 3.2.3

項を並べ替えます。

$18 y y' + 2 x$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$18 y y' + 2 x = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$18 y y' = - 2 x$

ステップ 3.5.2

$18 y y' = - 2 x$ の各項を $18 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$18 y y' = - 2 x$ の各項を $18 y$ で割ります。

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$- 2$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$2$ を $18 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{9 y}$

ステップ 3.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{9 y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

ステップ 5.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

ステップ 5.2.2.2

$1 - (0)$ に $1$ をかけます。

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

ステップ 5.2.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

ステップ 5.2.2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

ステップ 5.2.2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (0) = \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{3}$ です。

$\frac{1}{3}$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

ステップ 6.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

ステップ 6.2.2.2

$1 - (0)$ に $1$ をかけます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

ステップ 6.2.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

ステップ 6.2.2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

ステップ 6.2.2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (0) = - \frac{1}{3}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{3}$ です。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

ステップ 8

微分積分 例

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