微分積分例

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

ステップ 1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $2 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.1.3

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.2.1.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.2

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.3

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.4

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 2 \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 \sin (x) - 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.4

$- 1$ を $- 1 - 2 \sin (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.4.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.4.2

$- 1$ を $- 2 \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.4.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (2 \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.4.4

$- 1 (1 + 2 \sin (x))$ を $- (1 + 2 \sin (x))$ に書き換えます。

$\frac{- (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 1.9.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子を0に等しくします。

$1 + 2 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) = - 1$

ステップ 2.2.2

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 2.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 2.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 2.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 2.2.6.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 2.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.2.8

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 2.2.8.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 2.2.8.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 2.2.8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 2.2.8.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 2.2.8.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 2.2.8.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 2.2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$x = \frac{7 π}{6}$ における元の関数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{7 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{7 π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

ステップ 3.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

ステップ 3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

ステップ 3.2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.2.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

ステップ 3.2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

ステップ 3.2.2.6.2

$4$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.5

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

$x = \frac{11 π}{6}$ における元の関数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{11 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{11 π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

ステップ 4.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

ステップ 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.2.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

ステップ 4.2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

ステップ 4.2.2.6.2

$4$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 4.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{1}{3})$

ステップ 4.2.5

$\sqrt{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.6

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 5

関数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ の水平接線は $y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例