微分積分例

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

ステップ 1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 3 + 0$

ステップ 1.4.2

$x^{2} - 3$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 3$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 3

$x = \sqrt{3}$ における元の関数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{3}$ で置換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.1.3

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.1.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.5.1

$3$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.2

$\sqrt{3}$ から $3 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $- 2 \sqrt{3} + 2$ です。

$- 2 \sqrt{3} + 2$

ステップ 4

$x = - \sqrt{3}$ における元の関数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.3

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.5

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.5.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.7.1

$3$ を $- (3 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.7.2

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.7.3

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

ステップ 4.2.1.8

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

ステップ 4.2.2

$- \sqrt{3}$ と $3 \sqrt{3}$ をたし算します。

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $2 \sqrt{3} + 2$ です。

$2 \sqrt{3} + 2$

ステップ 5

関数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ の水平接線は $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ です。

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例