微分積分例

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

ステップ 1.2

$\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

ステップ 1.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

ステップ 1.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

ステップ 1.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

ステップ 1.3.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

ステップ 1.3.4

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

ステップ 1.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

${(y - 2)}^{2}$ を $(y - 2) (y - 2)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

ステップ 3.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 2) (y - 2)$ を展開します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

ステップ 3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

ステップ 3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

ステップ 3.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

ステップ 3.2.3.1.2

$- 2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

ステップ 3.2.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

ステップ 3.2.3.2

$- 2 y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

ステップ 3.2.4

総和則では、 $y^{2} - 4 y + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.5.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.7

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 y$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.8

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 y y' - 4 y' + 0$

ステップ 3.2.10

$2 y y' - 4 y'$ と $0$ をたし算します。

$2 y y' - 4 y'$

ステップ 3.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 (x - 3)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3.3.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 (1 + 0)$

ステップ 3.3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \cdot 1$

ステップ 3.3.5.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' - 4 y' = 4$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

$2 y'$ を $2 y y' - 4 y'$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

$2 y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$2 y' y - 4 y' = 4$

ステップ 3.5.1.2

$2 y'$ を $- 4 y'$ で因数分解します。

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

ステップ 3.5.1.3

$2 y'$ を $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ で因数分解します。

$2 y' (y - 2) = 4$

ステップ 3.5.2

$2 y' (y - 2) = 4$ の各項を $2 (y - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2 y' (y - 2) = 4$ の各項を $2 (y - 2)$ で割ります。

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2}{y - 2}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{y - 2} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 4.2

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 5

$0$ 、 $\frac{2}{y - 2} = 0$ に等しい導関数を設定しても解が見つからないので、水平接線は存在しなません。

水平正切線が見つかりません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例