微分積分例

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{16}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 1.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 1.3.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 1.3.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

ステップ 1.3.2.1.3.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

ステップ 1.3.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.3.2.1.3.4

式を書き換えます。

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

ステップ 1.3.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

ステップ 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 1.5

$\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

指数を利用して式を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 1.5.1.2

$\frac{x^{2}}{4}$ を ${(\frac{x}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

ステップ 1.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = \frac{x}{2}$ です。

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.5.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.5.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.5.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.5.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.5.7

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.5.8

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

ステップ 1.5.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

ステップ 1.5.10

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

ステップ 1.5.11

$\frac{4 + x}{2}$ に $\frac{4 - x}{2}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.5.12

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

ステップ 1.5.13

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.13.1

$(4 + x) (4 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

ステップ 1.5.13.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 1.5.13.3

分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

ステップ 1.5.14

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

ステップ 1.5.15

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 1.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 1.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 1.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$\frac{1}{16}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{16}$ の微分係数は $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.2.3

$2$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.2.4

$\frac{2}{16}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.2.5

$2$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.5.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{y^{2}}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

ステップ 3.2.3.4

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

ステップ 3.2.3.5

$y$ と $\frac{2}{4}$ をまとめます。

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

ステップ 3.2.3.6

$\frac{y \cdot 2}{4}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

ステップ 3.2.3.7

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

ステップ 3.2.3.8

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.8.1

$2$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

ステップ 3.2.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.8.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2.3.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $\frac{x}{8}$ を引きます。

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

ステップ 3.5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

ステップ 3.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$2 (- \frac{x}{8})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1.1

$- \frac{x}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

ステップ 3.5.3.2.1.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

ステップ 3.5.3.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.5.3.2.1.1.4

式を書き換えます。

$y y' = \frac{- x}{4}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y y' = - \frac{x}{4}$

ステップ 3.5.4

$y y' = - \frac{x}{4}$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$y y' = - \frac{x}{4}$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

ステップ 3.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

ステップ 3.5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

ステップ 3.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 3.5.4.3.2

$\frac{1}{y}$ に $\frac{x}{4}$ をかけます。

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

ステップ 3.5.4.3.3

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$y' = - \frac{x}{4 y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

ステップ 5.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

ステップ 5.2.2.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

ステップ 5.2.2.4

$4$ に $4$ をかけます。

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

ステップ 5.2.2.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

ステップ 5.2.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = \frac{4}{2}$

ステップ 5.2.3

$4$ を $2$ で割ります。

$f (0) = 2$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

ステップ 6.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

ステップ 6.2.2.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

ステップ 6.2.2.4

$4$ に $4$ をかけます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

ステップ 6.2.2.5

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

ステップ 6.2.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = - \frac{4}{2}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$4$ を $2$ で割ります。

$f (0) = - 1 \cdot 2$

ステップ 6.2.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (0) = - 2$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例