微分積分例

f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

関数が奇関数、偶関数、またはそのどちらでもないか判定し、対称を求めます。

1. 奇数のとき、この関数は原点に対して対称です。

2. 偶数のとき、関数はy軸に対して対称です。

ステップ 2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

1

$1$ を

1^{2}

$1^{2}$ に書き換えます。

f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = x

$a = x$ であり、

b = 1

$b = 1$ です。

f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3

f (- x)

$f (- x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

f (x)

$f (x)$ 内の

x

$x$ の出現回数をすべて

- x

$- x$ に代入して

f (- x)

$f (- x)$ を求めます。

f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

積の法則を

- x

$- x$ に当てはめます。

f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.2.2

- 1

$- 1$ を

2

$2$ 乗します。

f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.2.3

x^{2}

$x^{2}$ に

1

$1$ をかけます。

f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

- 1

$- 1$ を

- x

$- x$ で因数分解します。

f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3.2

1

$1$ を

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ に書き換えます。

f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3.3

- 1

$- 1$ を

- (x) - 1 (- 1)

$- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3.4

- (x - 1)

$- (x - 1)$ を

- 1 (x - 1)

$- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3.5

- 1

$- 1$ を

- x

$- x$ で因数分解します。

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

ステップ 3.3.6

- 1

$- 1$ を

- 1 (1)

$- 1 (1)$ に書き換えます。

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.3.7

- 1

$- 1$ を

- (x) - 1 (1)

$- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

ステップ 3.3.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

- (x + 1)

$- (x + 1)$ を

- 1 (x + 1)

$- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

ステップ 3.3.8.2

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

ステップ 3.3.8.3

x - 1

$x - 1$ に

1

$1$ をかけます。

f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 4

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 4.1

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 4.2

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

$\neq$

$\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ なので、関数は偶関数ではありません。

関数は偶関数ではありません

ステップ 5

$f (- x) = - f (x)$ ならば関数は奇関数です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ に

$\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ をかけます。

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.2

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

$\neq$

$- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ なので、関数は奇関数ではありません。

関数は奇関数ではありません

ステップ 6

関数は奇関数でも偶関数でもありません

ステップ 7

関数が奇数ではないので、原点に対して対称ではありません。

原点対称がありません

ステップ 8

関数が偶数ではないので、y軸に対して対称ではありません。

y軸対称がありません

ステップ 9

関数が奇数でも偶数でもないので、原点/y軸に対象ではありません。

関数が対称ではありません

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例