微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

関数が奇関数、偶関数、またはそのどちらでもないか判定し、対称を求めます。

1. 奇数のとき、この関数は原点に対して対称です。

2. 偶数のとき、関数はy軸に対して対称です。

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3

$f (- x)$ を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x)$ 内の $x$ の出現回数をすべて $- x$ に代入して $f (- x)$ を求めます。

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3.4

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

ステップ 3.3.5

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

ステップ 3.3.7

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

ステップ 3.3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.3.8.1

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

ステップ 3.3.8.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

ステップ 3.3.8.3

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 4

$f (- x) = f (x)$ ならば関数は偶関数です。

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ステップ 4.1

$f (- x) = f (x)$ ならば確認します。

ステップ 4.2

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ なので、関数は偶関数ではありません。

関数は偶関数ではありません

ステップ 5

$f (- x) = - f (x)$ ならば関数は奇関数です。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ をかけます。

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.2

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ なので、関数は奇関数ではありません。

関数は奇関数ではありません

ステップ 6

関数は奇関数でも偶関数でもありません

ステップ 7

関数が奇数ではないので、原点に対して対称ではありません。

原点対称がありません

ステップ 8

関数が偶数ではないので、y軸に対して対称ではありません。

y軸対称がありません

ステップ 9

関数が奇数でも偶数でもないので、原点/y軸に対象ではありません。

関数が対称ではありません

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例