微分積分例

$f (x) = 8 x^{2}$ , $16 x + y + 6 = 0$

ステップ 1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $16 x$ を引きます。

$y + 6 = - 16 x$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$y = - 16 x - 6$

ステップ 2

傾き切片型を利用して傾きを求めます。

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ステップ 2.1

傾き切片型は $y = m x + b$ です。ここで $m$ が傾き、 $b$ がy切片です。

$y = m x + b$

ステップ 2.2

傾き切片型を利用すると、傾きは $- 16$ です。

$m = - 16$

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (2 x)$

ステップ 3.3

$2$ に $8$ をかけます。

$16 x$

ステップ 4

関数の一次導関数は、その関数の各点での傾きを表します。この場合、 $f (x) = 8 x^{2}$ の導関数は $16 x$ で、与えられた直線 $y = - 16 x - 6$ の傾きは $m = - 16$ です。 $f (x) = 8 x^{2}$ 上で、正切線の傾きが与えられた直線 $y = - 16 x - 6$ の傾きと同じになる点を求めるには、与えられた直線 $- 16$ の傾きの値を $16 x$ の値に代入します。

$- 16 = 16 x$

ステップ 5

$x$ について $- 16 = 16 x$ を解き、接線が与えられた直線 $y = - 16 x - 6$ と平行になる点のx座標を求めます。この場合、x座標は $x = - 1$ です。

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ステップ 5.1

方程式を $16 x = - 16$ として書き換えます。

$16 x = - 16$

ステップ 5.2

$16 x = - 16$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$16 x = - 16$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 16}{16}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 16$ を $16$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 6

$- 1$ を $f (x) = 8 x^{2}$ に代入し、接線が与えられた直線 $y = - 16 x - 6$ と平行になる点のy座標を得ます。この場合、y座標は $8$ です。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

ステップ 6.2.2

$8$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 8$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $8$ です。

$8$

ステップ 7

正切線の傾きが任意の直線 $y = - 16 x - 6$ の傾きと同じになる $f (x) = 8 x^{2}$ 上の点は、x座標 $- 1$ とy座標 $8$ です。正切線の傾きは $y = - 16 x - 6$ の傾きと同じで、 $m = - 16$ です。

$(- 1, 8), m = - 16$

ステップ 8

$(- 1, 8)$ 上の正接線で、傾きが $m = - 16$ である線。

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ステップ 8.1

直線の方程式の公式を利用して $b$ の値を求めます。

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ステップ 8.1.1

直線の方程式の公式を利用し、 $b$ を求めます。

$y = m x + b$

ステップ 8.1.2

$m$ の値を方程式に代入します。

$y = (- 16) \cdot x + b$

ステップ 8.1.3

$x$ の値を方程式に代入します。

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

ステップ 8.1.4

$y$ の値を方程式に代入します。

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

ステップ 8.1.5

$b$ の値を求めます。

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ステップ 8.1.5.1

方程式を $(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ として書き換えます。

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

ステップ 8.1.5.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$16 + b = 8$

ステップ 8.1.5.3

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.1.5.3.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$b = 8 - 16$

ステップ 8.1.5.3.2

$8$ から $16$ を引きます。

$b = - 8$

ステップ 8.2

$m$ （傾き）と $b$ （y切片）の値がわかりましたので、 $y = m x + b$ に代入するして線の方程式を求めます。

$y = - 16 x - 8$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例