微分積分例

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

ステップ 1

与えられた点が与えられた関数のグラフ上にあるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x = 1$ における $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

ステップ 1.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

ステップ 1.1.2.1.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 5 + 6$

ステップ 1.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$1$ から $5$ を引きます。

$f (1) = - 4 + 6$

ステップ 1.1.2.2.2

$- 4$ と $6$ をたし算します。

$f (1) = 2$

ステップ 1.1.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 1.2

$2 = 2$ なので、点はグラフ上にあります。

点はグラフ上にあります

ステップ 2

接線の傾きは式の微分係数です。

$m$ $=$ は $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ の微分係数

ステップ 3

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 4

決定成分を求めます。

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ステップ 4.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

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ステップ 4.1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2.1.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2.1.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2.1.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

ステップ 4.1.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

ステップ 4.1.2.2

最終的な答えは $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ です。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

ステップ 4.2

並べ替えます。

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ステップ 4.2.1

$- 5 x$ を移動させます。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

ステップ 4.2.2

$x^{2}$ を移動させます。

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

ステップ 4.2.3

$2 h x$ と $h^{2}$ を並べ替えます。

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

ステップ 4.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

ステップ 5

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

ステップ 6.1.2

簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

ステップ 6.1.2.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

ステップ 6.1.3

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

ステップ 6.1.4

$h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

ステップ 6.1.5

$- 5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

ステップ 6.1.6

$h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

ステップ 6.1.7

$6$ から $6$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

ステップ 6.1.8

$h^{2} + 2 h x - 5 h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

ステップ 6.1.9

$h$ を $h^{2} + 2 h x - 5 h$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.9.1

$h$ を $h^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

ステップ 6.1.9.2

$h$ を $2 h x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

ステップ 6.1.9.3

$h$ を $- 5 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

ステップ 6.1.9.4

$h$ を $h (h) + h (2 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

ステップ 6.1.9.5

$h$ を $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

ステップ 6.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

ステップ 6.2.1.2

$h + 2 x - 5$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

ステップ 6.2.2

$h$ と $2 x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

ステップ 7.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

ステップ 7.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

ステップ 8

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 1 \cdot 5$

ステップ 9.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$2 x - 5$

ステップ 10

$2 (1) - 5$ を簡約します。

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ステップ 10.1

$2$ に $1$ をかけます。

$m = 2 - 5$

ステップ 10.2

$2$ から $5$ を引きます。

$m = - 3$

ステップ 11

傾きは $m = - 3$ で、点は $(1, 2)$ です。

$m = - 3, (1, 2)$

ステップ 12

直線の方程式の公式を利用して $b$ の値を求めます。

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ステップ 12.1

直線の方程式の公式を利用し、 $b$ を求めます。

$y = m x + b$

ステップ 12.2

$m$ の値を方程式に代入します。

$y = (- 3) \cdot x + b$

ステップ 12.3

$x$ の値を方程式に代入します。

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

ステップ 12.4

$y$ の値を方程式に代入します。

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

ステップ 12.5

$b$ の値を求めます。

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ステップ 12.5.1

方程式を $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ として書き換えます。

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

ステップ 12.5.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 + b = 2$

ステップ 12.5.3

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.5.3.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$b = 2 + 3$

ステップ 12.5.3.2

$2$ と $3$ をたし算します。

$b = 5$

ステップ 13

$m$ （傾き）と $b$ （y切片）の値がわかりましたので、 $y = m x + b$ に代入するして線の方程式を求めます。

$y = - 3 x + 5$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例