微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

ステップ 1

与えられた点が与えられた関数のグラフ上にあるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x = 0$ における $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

ステップ 1.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = \frac{1}{1}$

ステップ 1.1.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$f (0) = 1$

ステップ 1.1.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 1.2

$1 = 1$ なので、点はグラフ上にあります。

点はグラフ上にあります

ステップ 2

接線の傾きは式の微分係数です。

$m$ $=$ は $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ の微分係数

ステップ 3

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 4

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

括弧を削除します。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

ステップ 4.1.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{x + h + 1}$ です。

$\frac{1}{x + h + 1}$

ステップ 4.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

ステップ 5

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{1}{x + h + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

ステップ 6.1.2

$- \frac{1}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

ステップ 6.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h + 1) (x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.1.3.1

$\frac{1}{x + h + 1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

ステップ 6.1.3.2

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.3.3

$(x + h + 1) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.5

因数分解した形で $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ を書き換えます。

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ステップ 6.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.5.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.5.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5

$1$ から $1$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.5.6

$- h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 6.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 6.3.2

$h$ を $- h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 6.3.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 6.3.4

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 6.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$- 1$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{x + 1}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

ステップ 7.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

ステップ 7.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

ステップ 7.5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

ステップ 7.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

ステップ 7.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

ステップ 8

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

ステップ 9.2

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

ステップ 9.2.2

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

ステップ 9.2.3

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

ステップ 9.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

ステップ 9.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 10

傾き $m$ を求めます。この場合 $m = - 1$ です。

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ステップ 10.1

括弧を削除します。

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 10.2

括弧を削除します。

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

ステップ 10.3

$- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 10.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 10.3.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

ステップ 10.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$m = - \frac{1}{1}$

ステップ 10.3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 10.3.2.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$m = - \frac{1}{1}$

ステップ 10.3.2.1.2

式を書き換えます。

$m = - 1 \cdot 1$

ステップ 10.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$m = - 1$

ステップ 11

傾きは $m = - 1$ で、点は $(0, 1)$ です。

$m = - 1, (0, 1)$

ステップ 12

直線の方程式の公式を利用して $b$ の値を求めます。

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ステップ 12.1

直線の方程式の公式を利用し、 $b$ を求めます。

$y = m x + b$

ステップ 12.2

$m$ の値を方程式に代入します。

$y = (- 1) \cdot x + b$

ステップ 12.3

$x$ の値を方程式に代入します。

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

ステップ 12.4

$y$ の値を方程式に代入します。

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

ステップ 12.5

$b$ の値を求めます。

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ステップ 12.5.1

方程式を $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ として書き換えます。

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

ステップ 12.5.2

$(- 1) \cdot (0) + b$ を簡約します。

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ステップ 12.5.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + b = 1$

ステップ 12.5.2.2

$0$ と $b$ をたし算します。

$b = 1$

ステップ 13

$m$ （傾き）と $b$ （y切片）の値がわかりましたので、 $y = m x + b$ に代入するして線の方程式を求めます。

$y = - x + 1$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例