微分積分例

$y = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 (x + h) - 0.3 {(x + h)}^{2}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 {(x + h)}^{2}$

ステップ 2.1.2.1.2

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 ((x + h) (x + h))$

ステップ 2.1.2.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x (x + h) + h (x + h))$

ステップ 2.1.2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

ステップ 2.1.2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

ステップ 2.1.2.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

ステップ 2.1.2.1.4.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.1.4.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.4.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.1.4.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.1.5

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.3 (2 h x) - 0.3 h^{2}$

ステップ 2.1.2.1.6

$2$ に $- 0.3$ をかけます。

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$ です。

$5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5$ を移動させます。

$0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 5$

ステップ 2.2.2

$0.6 x$ を移動させます。

$0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 x + 5$

ステップ 2.2.3

$0.6 h$ を移動させます。

$- 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

ステップ 2.2.4

$- 0.3 x^{2}$ を移動させます。

$- 0.6 h x - 0.3 h^{2} - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

ステップ 2.2.5

$- 0.6 h x$ と $- 0.3 h^{2}$ を並べ替えます。

$- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0.1$ を $- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1.1

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.1.1.1.2

$5$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (0.6 x - 0.3 x^{2} + 5)}{h}$

ステップ 4.1.1.1.3

$0.6 x$ と $- 0.3 x^{2}$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

ステップ 4.1.1.2

$0.1$ を $- 0.3 h^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

ステップ 4.1.1.3

$0.1$ を $- 0.6 x h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

ステップ 4.1.1.4

$0.1$ を $- 0.3 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

ステップ 4.1.1.5

$0.1$ を $0.6 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

ステップ 4.1.1.6

$0.1$ を $0.6 x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

ステップ 4.1.1.7

$0.1$ を $5$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

ステップ 4.1.1.8

$0.1$ を $- (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

ステップ 4.1.1.9

$0.1$ を $0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

ステップ 4.1.1.10

$0.1$ を $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

ステップ 4.1.1.11

$0.1$ を $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

ステップ 4.1.1.12

$0.1$ を $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

ステップ 4.1.1.13

$0.1$ を $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

ステップ 4.1.1.14

$0.1$ を $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2}) - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 0.3$ に $- 10$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$0.6$ に $- 10$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 10 \cdot 5)}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$- 10$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 50)}{h}$

ステップ 4.1.4

$- 3 x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 6 x - 50)}{h}$

ステップ 4.1.5

$6 x$ から $6 x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 50 - 50)}{h}$

ステップ 4.1.6

$50$ から $50$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 0)}{h}$

ステップ 4.1.7

$- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

ステップ 4.1.8

因数分解した形で $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

$3$ を $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1.1

$3$ を $- 3 h^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

ステップ 4.1.8.1.2

$3$ を $- 6 x h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

ステップ 4.1.8.1.3

$3$ を $0 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 6 h + 0 x)}{h}$

ステップ 4.1.8.1.4

$3$ を $6 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 0 x)}{h}$

ステップ 4.1.8.1.5

$3$ を $0 x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

ステップ 4.1.8.1.6

$3$ を $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

ステップ 4.1.8.1.7

$3$ を $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

ステップ 4.1.8.1.8

$3$ を $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x))}{h}$

ステップ 4.1.8.1.9

$3$ を $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h + 0 x))}{h}$

ステップ 4.1.8.2

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0 x))}{h}$

ステップ 4.1.8.3

$0$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0))}{h}$

ステップ 4.1.8.4

$- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h))}{h}$

ステップ 4.1.8.5

$- h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 2 h))}{h}$

ステップ 4.1.8.6

$h$ を $- h^{2} - 2 x h + 2 h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.6.1

$h$ を $- h^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) - 2 x h + 2 h))}{h}$

ステップ 4.1.8.6.2

$h$ を $- 2 x h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 2 h))}{h}$

ステップ 4.1.8.6.3

$h$ を $2 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

ステップ 4.1.8.6.4

$h$ を $h (- h) + h (- 2 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

ステップ 4.1.8.6.5

$h$ を $h (- h - 2 x) + h \cdot 2$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x + 2)))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 \cdot (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

ステップ 4.1.9

$0.1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$0.3 (- h - 2 x + 2)$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h - 2 x + 2)$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h) + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ に $0.3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

ステップ 4.3.2

$- 2$ に $0.3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.3 \cdot 2$

ステップ 4.3.3

$0.3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.6$

ステップ 4.4

$- 0.3 h$ と $- 0.6 x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.6 x - 0.3 h + 0.6$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{h \to 0} 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

ステップ 5.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $0.6 x$ の極限値を求めます。

$- 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

ステップ 5.3

$0.3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 0.6$

ステップ 5.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $0.6$ の極限値を求めます。

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + 0.6$

ステップ 6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- 0.6 x - 0.3 \cdot 0 + 0.6$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 0.3$ に $0$ をかけます。

$- 0.6 x + 0 + 0.6$

ステップ 7.2

$- 0.6 x$ と $0$ をたし算します。

$- 0.6 x + 0.6$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例