微分積分例

$y = 5 x^{3} - 2 x$ , $(1, 3)$

ステップ 1

$y = 5 x^{3} - 2 x$ を関数で書きます。

$f (x) = 5 x^{3} - 2 x$

ステップ 2

与えられた点が与えられた関数のグラフ上にあるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = 1$ における $f (x) = 5 x^{3} - 2 x$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.1.2

$5$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 5 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 5 - 2$

ステップ 2.1.2.2

$5$ から $2$ を引きます。

$f (1) = 3$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 2.2

$3 = 3$ なので、点はグラフ上にあります。

点はグラフ上にあります

ステップ 3

接線の傾きは式の微分係数です。

$m$ $=$ は $f (x) = 5 x^{3} - 2 x$ の微分係数

ステップ 4

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 5

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 2 (x + h)$

ステップ 5.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 2 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 2 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.3.1

$3$ に $5$ をかけます。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 2 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.3.2

$3$ に $5$ をかけます。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 2 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.4

括弧を削除します。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 2 (x + h)$

ステップ 5.1.2.1.5

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 2 x - 2 h$

ステップ 5.1.2.2

最終的な答えは $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 2 x - 2 h$ です。

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 2 x - 2 h$

ステップ 5.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 2 x - 2 h$

ステップ 5.2.2

$x$ を移動させます。

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 2 x - 2 h$

ステップ 5.2.3

$- 2 x$ を移動させます。

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 2 h - 2 x$

ステップ 5.2.4

$5 x^{3}$ を移動させます。

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x$

ステップ 5.2.5

$15 h x^{2}$ を移動させます。

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x$

ステップ 5.2.6

$15 h^{2} x$ と $5 h^{3}$ を並べ替えます。

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x$

ステップ 5.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 2 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 2 x$

ステップ 6

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x - (5 x^{3} - 2 x)}{h}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x - (5 x^{3}) - (- 2 x)}{h}$

ステップ 7.1.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x - 5 x^{3} - (- 2 x)}{h}$

ステップ 7.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 2 h - 2 x - 5 x^{3} + 2 x}{h}$

ステップ 7.1.4

$5 x^{3}$ から $5 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 2 h - 2 x + 0 + 2 x}{h}$

ステップ 7.1.5

$5 h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 2 h - 2 x + 2 x}{h}$

ステップ 7.1.6

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 2 h + 0}{h}$

ステップ 7.1.7

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 2 h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 2 h}{h}$

ステップ 7.1.8

$h$ を $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 2 h$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.8.1

$h$ を $5 h^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 2 h}{h}$

ステップ 7.1.8.2

$h$ を $15 h^{2} x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 2 h}{h}$

ステップ 7.1.8.3

$h$ を $15 h x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 2 h}{h}$

ステップ 7.1.8.4

$h$ を $- 2 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

ステップ 7.1.8.5

$h$ を $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

ステップ 7.1.8.6

$h$ を $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

ステップ 7.1.8.7

$h$ を $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 2$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 2)}{h}$

ステップ 7.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 2)}{h}$

ステップ 7.2.1.2

$5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 2$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 2$

ステップ 7.2.2

式を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 2$

ステップ 7.2.2.2

$5 h^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 2$

ステップ 7.2.2.3

$15 x h$ と $15 x^{2}$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 2$

ステップ 8

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

ステップ 9

$h$ が $0$ に近づくと定数である $15 x^{2}$ の極限値を求めます。

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

ステップ 10

$15 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

ステップ 11

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

ステップ 12

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2$

ステップ 13

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

ステップ 14

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 14.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

ステップ 14.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

ステップ 15

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$15 x \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1.1

$0$ に $15$ をかけます。

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

ステップ 15.1.1.2

$0$ に $x$ をかけます。

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2$

ステップ 15.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2$

ステップ 15.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 2$

ステップ 15.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$15 x^{2} + 0 + 0 - 2$

ステップ 15.2

$15 x^{2} + 0 + 0 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$15 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$15 x^{2} + 0 - 2$

ステップ 15.2.2

$15 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$15 x^{2} - 2$

ステップ 16

傾き $m$ を求めます。この場合 $m = 13$ です。

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ステップ 16.1

括弧を削除します。

$m = 15 \cdot 1^{2} - 2$

ステップ 16.2

$15 \cdot 1^{2} - 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$m = 15 \cdot 1 - 2$

ステップ 16.2.1.2

$15$ に $1$ をかけます。

$m = 15 - 2$

ステップ 16.2.2

$15$ から $2$ を引きます。

$m = 13$

ステップ 17

傾きは $m = 13$ で、点は $(1, 3)$ です。

$m = 13, (1, 3)$

ステップ 18

直線の方程式の公式を利用して $b$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

直線の方程式の公式を利用し、 $b$ を求めます。

$y = m x + b$

ステップ 18.2

$m$ の値を方程式に代入します。

$y = (13) \cdot x + b$

ステップ 18.3

$x$ の値を方程式に代入します。

$y = (13) \cdot (1) + b$

ステップ 18.4

$y$ の値を方程式に代入します。

$3 = (13) \cdot (1) + b$

ステップ 18.5

$b$ の値を求めます。

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ステップ 18.5.1

方程式を $(13) \cdot (1) + b = 3$ として書き換えます。

$(13) \cdot (1) + b = 3$

ステップ 18.5.2

$13$ に $1$ をかけます。

$13 + b = 3$

ステップ 18.5.3

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.5.3.1

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$b = 3 - 13$

ステップ 18.5.3.2

$3$ から $13$ を引きます。

$b = - 10$

ステップ 19

$m$ （傾き）と $b$ （y切片）の値がわかりましたので、 $y = m x + b$ に代入するして線の方程式を求めます。

$y = 13 x - 10$

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例