微分積分例

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

ステップ 1

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 + \sin (2 x) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (2 x) = - 1$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (- 1)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$2 x = - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4

$2 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.3.2

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.6.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 2.6.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.6.3

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.6.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.6.3.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.6.3.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.3.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.7

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.8

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 2.8.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 2.8.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.8.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.8.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 2.8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 2.8.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.8.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 2.8.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 2.8.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.9

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.10

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $n$ 、任意の整数 ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ について

値域： $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例