微分積分例

$f (x) = \log_{8} (\frac{x - 8}{x})$

ステップ 1

$\log_{8} (\frac{x - 8}{x})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x - 8}{x} > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x - 8 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 2.3

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 8$

ステップ 2.4

解をまとめます。

$x = 0, 8$

ステップ 2.5

$\frac{x - 8}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.5.1

$\frac{x - 8}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 2.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

ステップ 2.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{(- 2) - 8}{- 2} > 0$

ステップ 2.7.1.3

左辺 $5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.7.2

区間 $0 < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.7.2.1

区間 $0 < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.7.2.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) - 8}{4} > 0$

ステップ 2.7.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.7.3

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.7.3.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 2.7.3.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{(10) - 8}{10} > 0$

ステップ 2.7.3.3

左辺 $0.2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 8$ 偽

$x > 8$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 8$ 偽

$x > 8$ 真

ステップ 2.8

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > 8$

ステップ 3

$\frac{x - 8}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (8, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < 0, x > 8}$

ステップ 5

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq 0}$

ステップ 6

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, 0) \cup (8, \infty), {x | x < 0, x > 8}$

値域： $(- \infty, 0) \cup (0, \infty), {y | y \neq 0}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例