微分積分例

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 4 = 0$

$x \cdot x - 4 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.3

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.6

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 2.8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 4$

$x = 2, - 2$

ステップ 2.9

解をまとめます。

$x = - 4, 2, - 2$

ステップ 2.10

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \cdot x - 4 = 0$

ステップ 2.10.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.10.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.10.2.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.10.2.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.10.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.10.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.10.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 2.10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 2.11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 2.12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) + 4}{(- 6) (- 6) - 4} \geq 0$

ステップ 2.12.1.3

左辺 $- 0.0625$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.12.2

区間 $- 4 < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1

区間 $- 4 < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 2.12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$\frac{(- 3) + 4}{(- 3) (- 3) - 4} \geq 0$

ステップ 2.12.2.3

左辺 $0.2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.12.3

区間 $- 2 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.1

区間 $- 2 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.12.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 4}{(0) (0) - 4} \geq 0$

ステップ 2.12.3.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.12.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.12.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) + 4}{(4) (4) - 4} \geq 0$

ステップ 2.12.4.3

左辺 $0.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 2.13

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 \leq x < - 2$ または $x > 2$

ステップ 3

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \cdot x - 4 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 4.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 4, - 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

ステップ 6

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \geq 0}$

ステップ 7

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 4, - 2) \cup (2, \infty), {x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

値域： $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例