微分積分例

$2 x - \frac{432}{x^{2}} = 0$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1$

ステップ 1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2

$2 x - \frac{432}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$2 x - \frac{432}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$2 x \cdot x^{2} - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (x^{2} x) - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2 + 1} - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{3} - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$- \frac{432}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{3} + \frac{- 432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{3} + \frac{- 432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{3} - 432 = 0 x^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$2 x^{3} - 432 = 0$

ステップ 3

方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $432$ を足します。

$2 x^{3} = 432$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $432$ を引きます。

$2 x^{3} - 432 = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$2$ を $2 x^{3} - 432$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (x^{3}) - 432 = 0$

ステップ 3.3.1.2

$2$ を $- 432$ で因数分解します。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 216 = 0$

ステップ 3.3.1.3

$2$ を $2 x^{3} + 2 \cdot - 216$ で因数分解します。

$2 (x^{3} - 216) = 0$

ステップ 3.3.2

$216$ を $6^{3}$ に書き換えます。

$2 (x^{3} - 6^{3}) = 0$

ステップ 3.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$2 ((x - 6) (x^{2} + x \cdot 6 + 6^{2})) = 0$

ステップ 3.3.4

因数分解。

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ステップ 3.3.4.1

簡約します。

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ステップ 3.3.4.1.1

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$2 ((x - 6) (x^{2} + 6 x + 6^{2})) = 0$

ステップ 3.3.4.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$2 ((x - 6) (x^{2} + 6 x + 36)) = 0$

ステップ 3.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x - 6) (x^{2} + 6 x + 36) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 6 x + 36 = 0$

ステップ 3.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.6

$x^{2} + 6 x + 36$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x^{2} + 6 x + 36$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 6 x + 36 = 0$

ステップ 3.6.2

$x$ について $x^{2} + 6 x + 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 6$ 、および $c = 36$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3

簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.2.3.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 36$ を掛けます。

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ステップ 3.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $36$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.3

$36$ から $144$ を引きます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.4

$- 108$ を $- 1 (108)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (108)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.7

$108$ を $6^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.2.3.1.7.1

$36$ を $108$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.7.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.1.9

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.6.2.3.3

$\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

ステップ 3.6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

ステップ 3.7

最終解は $2 (x - 6) (x^{2} + 6 x + 36) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

微分積分 例

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