微分積分例

$32 e^{x} - e^{2 x}$

ステップ 1

$32 e^{x} - e^{2 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $32 e^{x} - e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 e^{x}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{2 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 2.1.1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 2.1.1.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 2.1.1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 e^{x}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{2 x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 2.1.2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 2.1.2.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 2.1.2.3.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ です。

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

ステップ 2.2.2.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$32 u - 4 u^{2} = 0$

ステップ 2.2.2.3

$4 u$ を $32 u - 4 u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$4 u$ を $32 u$ で因数分解します。

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

ステップ 2.2.2.3.2

$4 u$ を $- 4 u^{2}$ で因数分解します。

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

ステップ 2.2.2.3.3

$4 u$ を $4 u (8) + 4 u (- u)$ で因数分解します。

$4 u (8 - u) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

ステップ 2.2.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.2.5

$8 - e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

$8 - e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$8 - e^{x} = 0$

ステップ 2.2.5.2

$x$ について $8 - e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.2.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- e^{x} = - 8$

ステップ 2.2.5.2.2

$- e^{x} = - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.1

$- e^{x} = - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.2.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$e^{x} = 8$

ステップ 2.2.5.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

ステップ 2.2.5.2.4

左辺を展開します。

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ステップ 2.2.5.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (8)$

ステップ 2.2.5.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (8)$

ステップ 2.2.5.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (8)$

ステップ 2.2.6

最終解は $4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (8)$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \ln (8))$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

ステップ 5.2.1.2

$32$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

ステップ 5.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

ステップ 5.2.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 32 - 4$

ステップ 5.2.2

$32$ から $4$ を引きます。

$f'' (0) = 28$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $28$ です。

$28$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \ln (8))$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \ln (8))$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(\ln (8), \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $5$ をかけます。

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $32 e^{5} - 4 e^{10}$ です。

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

ステップ 6.3

$f'' (5)$ が負なので、区間 $(\ln (8), \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\ln (8), \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \ln (8))$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\ln (8), \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例