微分積分例

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[0, 6]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{4 x + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 x + 1 \geq 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$4 x \geq - 1$

ステップ 1.2.2

$4 x \geq - 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$4 x \geq - 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 1}{4}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x \geq - \frac{1}{4}$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

区間記号：

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 6]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

ステップ 5

$u = 4 x + 1$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 4 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$4 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 5.2

$u = 4 x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 5.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = 4 x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$4$ に $6$ をかけます。

$u_{upper} = 24 + 1$

ステップ 5.5.2

$24$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 25$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

ステップ 6

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$25$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.3.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.4

$5$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.5

$\frac{2}{3}$ と $125$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.6

$2$ に $125$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

ステップ 10.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

ステップ 10.2.9

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

ステップ 10.2.10

$250$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

ステップ 10.2.11

$\frac{1}{4}$ に $\frac{248}{3}$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

ステップ 10.2.12

$4$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

ステップ 10.2.13

$248$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.13.1

$4$ を $248$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

ステップ 10.2.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.13.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

ステップ 10.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

ステップ 10.2.13.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

ステップ 11

分母を簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

ステップ 11.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

ステップ 12

項を簡約します。

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ステップ 12.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

ステップ 12.1.2

$2$ を $62$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

ステップ 12.1.3

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

ステップ 12.1.4

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

ステップ 12.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{31}{3}$ をかけます。

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

ステップ 12.3

$3$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{31}{9}$

ステップ 13

微分積分 例

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