微分積分例

${(x + 1)}^{4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$4 {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(x + 1)}^{3} (1 + 0)$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 {(x + 1)}^{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 {(x + 1)}^{3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 {(x + 1)}^{3}$ です。

$4 {(x + 1)}^{3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 {(x + 1)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 {(x + 1)}^{3} = 0$

ステップ 2.2

$4 {(x + 1)}^{3} = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4 {(x + 1)}^{3} = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 {(x + 1)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 {(x + 1)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.2.1.2

${(x + 1)}^{3}$ を $1$ で割ります。

${(x + 1)}^{3} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

${(x + 1)}^{3} = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x + 1)}^{4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${((- 1) + 1)}^{4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$0^{4}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例