微分積分例

${(x^{3} - 8)}^{4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{3} - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 8$ で置き換えます。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{3} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 1.1.2.3

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

ステップ 1.1.2.4.2

$3$ に $4$ をかけます。

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

ステップ 1.1.2.4.3

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$ です。

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(x^{3} - 8)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

${(x^{3} - 8)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

${(x^{3} - 2^{3})}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

${((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}))}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2.1.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2.1.4

積の法則を $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ に当てはめます。

${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 2)}^{3} = 0$

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2.3

${(x - 2)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

${(x - 2)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2.3.2

$x$ について ${(x - 2)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.3.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2.3.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4.2.4

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

ステップ 2.4.2.4.2

$x$ について ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.4.2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.4.2.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 2.4.2.4.2.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.4.2.4

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.2.4.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.4.2.4.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.2.4.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.4.2.4.2.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 2.4.2.4.2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.2.4.2.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.2.7.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.4.2.4.2.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.4.2.4.2.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.4.2.5

最終解は ${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.5

最終解は $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x^{3} - 8)}^{4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${({(0)}^{3} - 8)}^{4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(0 - 8)}^{4}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $8$ を引きます。

${(- 8)}^{4}$

ステップ 4.1.2.3

$- 8$ を $4$ 乗します。

$4096$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${({(2)}^{3} - 8)}^{4}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

${(8 - 8)}^{4}$

ステップ 4.2.2.2

$8$ から $8$ を引きます。

$0^{4}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 4096), (2, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例