微分積分例

$3^{x} \sin (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = 3^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 1.1.3

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) (3^{x} \ln (3))$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ です。

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$

ステップ 2.2

$3^{x}$ を $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3^{x}$ を $3^{x} \sin (x) \ln (3)$ で因数分解します。

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3)) = 0$

ステップ 2.2.2

$3^{x}$ を $3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3))$ で因数分解します。

$3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

ステップ 2.4

$3^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$3^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.4.2.3

$3^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.5

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.3

分数を分解します。

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.5

$\ln (3)$ を $1$ で割ります。

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.6

分数を分解します。

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.5.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 2.5.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 2.5.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0$

ステップ 2.5.2.10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\ln (3) \tan (x) = - 1$

ステップ 2.5.2.11

$\ln (3) \tan (x) = - 1$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.11.1

$\ln (3) \tan (x) = - 1$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

ステップ 2.5.2.11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.11.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.11.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

ステップ 2.5.2.11.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{\ln (3)}$

ステップ 2.5.2.11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.11.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\tan (x) = - \frac{1}{\ln (3)}$

ステップ 2.5.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$

ステップ 2.5.2.13

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.13.1

$\arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$ の値を求めます。

$x = - 0.73844341$

ステップ 2.5.2.14

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 0.73844341 - (3.14159265)$

ステップ 2.5.2.15

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.5.2.15.1

$2 π$ に $- 0.73844341 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 0.73844341 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 2.5.2.15.2

$2.40314923$ の結果の角度は正で $- 0.73844341 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 2.40314923$

ステップ 2.5.2.16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.2.16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.5.2.16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.5.2.17

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 2.5.2.17.1

$π$ を $- 0.73844341$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.73844341 + π$

ステップ 2.5.2.17.2

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 0.73844341$

ステップ 2.5.2.17.3

$3.14159265$ から $0.73844341$ を引きます。

$2.40314923$

ステップ 2.5.2.17.4

新しい角をリストします。

$x = 2.40314923$

ステップ 2.5.2.18

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3^{x} \sin (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2.40314923$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2.40314923$ を $x$ に代入します。

$3^{2.40314923} \sin (2.40314923)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ を $2.40314923$ 乗します。

$14.01501538 \sin (2.40314923)$

ステップ 4.1.2.2

$14.01501538$ に $\sin (2.40314923)$ をかけます。

$9.43403393$

ステップ 4.2

$x = 5.54474188$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$5.54474188$ を $x$ に代入します。

$3^{5.54474188} \sin (5.54474188)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$3$ を $5.54474188$ 乗します。

$442.09357916 \sin (5.54474188)$

ステップ 4.2.2.2

$442.09357916$ に $\sin (5.54474188)$ をかけます。

$- 297.58981445$

ステップ 4.3

$x = 2.40314923 + 2 π$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$2.40314923 + 2 π$ を $x$ に代入します。

$3^{2.40314923 + 2 π} \sin (2.40314923 + 2 π)$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2.40314923$ と $2 π$ をたし算します。

$3^{8.68633454} \sin (2.40314923 + 2 π)$

ステップ 4.3.2.2

$3$ を $8.68633454$ 乗します。

$13945.52395695 \sin (2.40314923 + 2 π)$

ステップ 4.3.2.3

$2.40314923$ と $2 π$ をたし算します。

$13945.52395695 \sin (8.68633454)$

ステップ 4.3.2.4

$13945.52395695$ に $\sin (8.68633454)$ をかけます。

$9387.25664074$

ステップ 4.4

$x = 2.40314923 + 3 π$ での値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$2.40314923 + 3 π$ を $x$ に代入します。

$3^{2.40314923 + 3 π} \sin (2.40314923 + 3 π)$

ステップ 4.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$2.40314923$ と $3 π$ をたし算します。

$3^{11.82792719} \sin (2.40314923 + 3 π)$

ステップ 4.4.2.2

$3$ を $11.82792719$ 乗します。

$439901.52220938 \sin (2.40314923 + 3 π)$

ステップ 4.4.2.3

$2.40314923$ と $3 π$ をたし算します。

$439901.52220938 \sin (11.82792719)$

ステップ 4.4.2.4

$439901.52220938$ に $\sin (11.82792719)$ をかけます。

$- 296114.25848054$

ステップ 4.5

$x = 2.40314923 + 4 π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$2.40314923 + 4 π$ を $x$ に代入します。

$3^{2.40314923 + 4 π} \sin (2.40314923 + 4 π)$

ステップ 4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

$2.40314923$ と $4 π$ をたし算します。

$3^{14.96951985} \sin (2.40314923 + 4 π)$

ステップ 4.5.2.2

$3$ を $14.96951985$ 乗します。

$13876377.0970174 \sin (2.40314923 + 4 π)$

ステップ 4.5.2.3

$2.40314923$ と $4 π$ をたし算します。

$13876377.0970174 \sin (14.96951985)$

ステップ 4.5.2.4

$13876377.0970174$ に $\sin (14.96951985)$ をかけます。

$9340711.28884108$

ステップ 4.6

点のすべてを一覧にします。

$(2.40314923, 9.43403393), (5.54474188, - 297.58981445), (2.40314923 + 2 π, 9387.25664074), (2.40314923 + 3 π, - 296114.25848054), (2.40314923 + 4 π, 9340711.28884108)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例