微分積分例

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.5

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

ステップ 1.1.6

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ と $0$ をたし算します。

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

ステップ 1.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ です。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

ステップ 2.2

$t$ を $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$t$ を $4 t^{3}$ で因数分解します。

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

ステップ 2.2.2

$t$ を $3 t^{2}$ で因数分解します。

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

ステップ 2.2.3

$t$ を $2 t$ で因数分解します。

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.4

$t$ を $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ で因数分解します。

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

ステップ 2.2.5

$t$ を $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ で因数分解します。

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

ステップ 2.4

$t$ が $0$ に等しいとします。

$t = 0$

ステップ 2.5

$4 t^{2} + 3 t + 2$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$4 t^{2} + 3 t + 2$ が $0$ に等しいとします。

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$t$ について $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 4$ 、 $b = 3$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 16$ に $2$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.2.2

$- 16$ に $2$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.4.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{23}$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

ステップ 2.5.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

ステップ 2.5.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.5.1.2.2

$- 16$ に $2$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.5.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.5.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.2.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.5.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{23}$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

ステップ 2.5.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

ステップ 2.5.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 2.6

最終解は $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$t = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $t$ に代入します。

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 0 + 1$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例