微分積分例

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.3

$2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$4 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 y$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.4.2

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

ステップ 1.1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$2 x + 2 y + 2$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 2 y + 2 + 0$

ステップ 1.1.5.3

$2 x + 2 y + 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 2 y + 2$ です。

$2 x + 2 y + 2$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x + 2 y + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x + 2 y + 2 = 0$

ステップ 2.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$2 x + 2 = - 2 y$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 x = - 2 y - 2$

ステップ 2.3

$2 x = - 2 y - 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 x = - 2 y - 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.3.1.1.2.4

$- y$ を $1$ で割ります。

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 2$ を $2$ で割ります。

$x = - y - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = - y - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- y - 1$ を $x$ に代入します。

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

${(- y - 1)}^{2}$ を $(- y - 1) (- y - 1)$ に書き換えます。

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- y - 1) (- y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.4

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.5

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.5.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.6

$- 1 (- y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.6.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.3.2

$y$ と $y$ をたし算します。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.4

分配則を当てはめます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.7

分配則を当てはめます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.8

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.8.1

$y$ を移動させます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.8.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.9

分配則を当てはめます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.10

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.1.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1.1

$2 y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.2.1.2

$y^{2} + 2 y + 1$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.2.1.3

$2 y$ から $2 y$ を引きます。

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.2.1.4

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 2 y$ と $4 y$ をたし算します。

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

ステップ 4.1.2.2.4

$- 1$ と $7$ をたし算します。

$y^{2} + 2 y + 6$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例