微分積分例

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 \sec (x)$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \tan (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ です。

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sec (x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{7 π}{6}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{7 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第三象限で負であるため、式を負にします。

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.2

$\sec (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.4.6.5

指数を求めます。

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.5

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.5.2

$- 10$ と $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.5.3

$2$ に $- 10$ をかけます。

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.8

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.1.2.1.9

$5$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.1.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 20 \sqrt{3}$ と $5 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 15$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.3.1

$3$ を $- 15 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

ステップ 4.1.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

ステップ 4.1.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

ステップ 4.1.2.2.3.2.4

$- 5 \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$- 5 \sqrt{3}$

ステップ 4.2

$x = \frac{11 π}{6}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{11 π}{6}$ を $x$ に代入します。

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.2

$\sec (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.5

指数を求めます。

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.5

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.5.1

$10$ と $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.5.2

$2$ に $10$ をかけます。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

ステップ 4.2.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

ステップ 4.2.2.1.7

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 4.2.2.1.8

$5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.8.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.2.1.8.2

$- 5$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.2.2.2

$20 \sqrt{3}$ から $5 \sqrt{3}$ を引きます。

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4.2.2.2.3

$15$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.1

$3$ を $15 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

ステップ 4.2.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

ステップ 4.2.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.2.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

ステップ 4.2.2.2.3.2.4

$5 \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$5 \sqrt{3}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例