微分積分例

$x e^{- 2 x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- 2 x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{2}}] + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x^{2}$ で置き換えます。

$x (e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.7.2

$- 4$ を $e^{- 2 x^{2}}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- 4 \cdot e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1$

ステップ 1.1.9

$e^{- 2 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}}$

ステップ 1.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

項を並べ替えます。

$- 4 e^{- 2 x^{2}} x^{2} + e^{- 2 x^{2}}$

ステップ 1.1.10.2

$- 4 e^{- 2 x^{2}} x^{2} + e^{- 2 x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$ です。

$- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$e^{- 2 x^{2}}$ を $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$e^{- 2 x^{2}}$ を $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}}$ で因数分解します。

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を掛けます。

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$e^{- 2 x^{2}}$ を $e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2} + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$e^{- 2 x^{2}} (- {(2 x)}^{2} + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.2.4

$- {(2 x)}^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$e^{- 2 x^{2}} (1^{2} - {(2 x)}^{2}) = 0$

ステップ 2.2.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 2 x$ です。

$e^{- 2 x^{2}} ((1 + 2 x) (1 - (2 x))) = 0$

ステップ 2.2.6

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 x^{2}} ((1 + 2 x) (1 - 2 x)) = 0$

ステップ 2.2.6.2

不要な括弧を削除します。

$e^{- 2 x^{2}} (1 + 2 x) (1 - 2 x) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

$1 + 2 x = 0$

$1 - 2 x = 0$

ステップ 2.4

$e^{- 2 x^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$e^{- 2 x^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $e^{- 2 x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 2 x^{2}}) = \ln (0)$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.4.2.3

$e^{- 2 x^{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.5

$1 + 2 x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$1 + 2 x$ が $0$ に等しいとします。

$1 + 2 x = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $1 + 2 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 2.5.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.6

$1 - 2 x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$1 - 2 x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - 2 x = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $1 - 2 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 x = - 1$

ステップ 2.6.2.2

$- 2 x = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$- 2 x = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.7

最終解は $e^{- 2 x^{2}} (1 + 2 x) (1 - 2 x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x e^{- 2 x^{2}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = - \frac{1}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- \frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

$(- \frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})}$

ステップ 4.1.2.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 4.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

ステップ 4.1.2.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 4.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{4}}$

ステップ 4.1.2.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2.3.3

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2.3.4

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.1.2.4

$- 1 (\frac{1}{2})$ を $- (\frac{1}{2})$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.1.2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.2.6

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.7

$2$ を $e^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$x = \frac{1}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.2.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 4.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{4}}$

ステップ 4.2.2.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.2.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.2.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.2.2.3

$- 1 (\frac{1}{2})$ を $- (\frac{1}{2})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.2.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2.5

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例