微分積分例

$x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 5$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.4.3

$12$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12$ です。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $4 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x + 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) - 4 x + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (- x) + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (- x) + 4 (3) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$4$ を $4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2})$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (- x) + 4 (3) = 0$

ステップ 2.2.1.6

$4$ を $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 3 x^{2} - x) + 4 (3) = 0$

ステップ 2.2.1.7

$4$ を $4 (x^{3} - 3 x^{2} - x) + 4 (3)$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$4 ((x^{3} - 3 x^{2}) - x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$4 (x^{2} (x - 3) - (x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$4 ((x - 3) (x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.2.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$4 ((x - 3) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

ステップ 2.2.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$4 ((x - 3) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

ステップ 2.2.5.1.2

不要な括弧を削除します。

$4 ((x - 3) (x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.5.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.7

最終解は $4 (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1, 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x - 5$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$3$ を $x$ に代入します。

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 12 (3) - 5$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$81 - 4 {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 12 (3) - 5$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$81 - 4 \cdot 27 - 2 {(3)}^{2} + 12 (3) - 5$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 4$ に $27$ をかけます。

$81 - 108 - 2 {(3)}^{2} + 12 (3) - 5$

ステップ 4.1.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$81 - 108 - 2 \cdot 9 + 12 (3) - 5$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 2$ に $9$ をかけます。

$81 - 108 - 18 + 12 (3) - 5$

ステップ 4.1.2.1.6

$12$ に $3$ をかけます。

$81 - 108 - 18 + 36 - 5$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$81$ から $108$ を引きます。

$- 27 - 18 + 36 - 5$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 27$ から $18$ を引きます。

$- 45 + 36 - 5$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 45$ と $36$ をたし算します。

$- 9 - 5$

ステップ 4.1.2.2.4

$- 9$ から $5$ を引きます。

$- 14$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 5$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 4 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 5$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 4 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 5$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 4 - 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 5$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 - 2 \cdot 1 + 12 (- 1) - 5$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 - 2 + 12 (- 1) - 5$

ステップ 4.2.2.1.6

$12$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 4 - 2 - 12 - 5$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$1$ と $4$ をたし算します。

$5 - 2 - 12 - 5$

ステップ 4.2.2.2.2

$5$ から $2$ を引きます。

$3 - 12 - 5$

ステップ 4.2.2.2.3

$3$ から $12$ を引きます。

$- 9 - 5$

ステップ 4.2.2.2.4

$- 9$ から $5$ を引きます。

$- 14$

ステップ 4.3

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 12 (1) - 5$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 12 (1) - 5$

ステップ 4.3.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 \cdot 1 - 2 {(1)}^{2} + 12 (1) - 5$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 - 2 {(1)}^{2} + 12 (1) - 5$

ステップ 4.3.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 - 2 \cdot 1 + 12 (1) - 5$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 - 2 + 12 (1) - 5$

ステップ 4.3.2.1.6

$12$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 - 2 + 12 - 5$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3 - 2 + 12 - 5$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$- 5 + 12 - 5$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 5$ と $12$ をたし算します。

$7 - 5$

ステップ 4.3.2.2.4

$7$ から $5$ を引きます。

$2$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(3, - 14), (- 1, - 14), (1, 2)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例