微分積分例

$16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2.3

$16$ に $1$ をかけます。

$16 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{- \frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ です。

$16 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 1.1.3.6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 1.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 1.1.3.8

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$16 + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 1.1.3.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$16 - 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 1.1.3.10

$- 2$ と $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$16 + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 1.1.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$16 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.3.12

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.3.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.13.1

$2$ を $2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 1.1.3.13.2

共通因数を約分します。

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.3.13.3

式を書き換えます。

$16 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.1.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ です。

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{\frac{3}{2}}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.4

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ の各項に $x^{\frac{3}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ の各項に $x^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{\frac{3}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

方程式を $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ として書き換えます。

$- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$

ステップ 2.5.2

$- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ の各項を $- 16$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ の各項を $- 16$ で割ります。

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

ステップ 2.5.2.2.2

$x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{- 1}{- 16}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{16}$

ステップ 2.5.3

方程式の両辺を $\frac{2}{3}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.5.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.5.4.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.5.4.1.1.2

簡約します。

$x = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1

${(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{16}$ に当てはめます。

$x = \frac{1^{\frac{2}{3}}}{16^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.5.4.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$16 - \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x^{3}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{3} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{3} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.3.3.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.3.3.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 3.4

$\sqrt{x^{3}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} < 0$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.5.2

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x < \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x < 0$

ステップ 3.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ を $x$ に代入します。

$16 (\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}) + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$16$ と $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{16}{16^{\frac{2}{3}}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $16^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$16 \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.3

指数を足して $16$ に $16^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$16$ に $16^{- \frac{2}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

$16$ を $1$ 乗します。

$16^{1} \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16^{1 - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$16^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$16^{\frac{3 - 2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.3.4

$3$ から $2$ を引きます。

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.4

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.5

${(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.5.2.2

式を書き換えます。

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2.6

$2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$16$ を $2^{4}$ に書き換えます。

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2.6.2

${(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 4.1.2.6.2.2

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$

ステップ 4.1.2.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{1 + \frac{4}{3}}$

ステップ 4.1.2.6.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}$

ステップ 4.1.2.6.5

公分母の分子をまとめます。

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3 + 4}{3}}$

ステップ 4.1.2.6.6

$3$ と $4$ をたし算します。

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$16 (0) + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$16$ に $0$ をかけます。

$0 + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + 2 \frac{1}{0^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2.1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$0 + 2 \frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 4.2.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 4.2.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$0 + 2 \frac{1}{0^{1}}$

ステップ 4.2.2.1.3.4

指数を求めます。

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

ステップ 4.2.2.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

ステップ 4.2.2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}, 16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例