微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

ステップ 1

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 1.2

$u = \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{n}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ です。

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{n + 1}$ と $u^{n + 1}$ をまとめます。

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ および $0$ で $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ の値を求めます。

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

ステップ 4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$

微分積分 例

微分積分例