微分積分例

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x^{2}$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $36$ をかけます。

$12 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [72 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $72 x$ の微分係数は $72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} + 72 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} + 72 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.4.3

$72$ に $1$ をかけます。

$12 x^{2} + 72 x + 72 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} + 72 x + 72 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$12 x^{2} + 72 x + 72$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} + 72 x + 72$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} + 72 x + 72$ です。

$12 x^{2} + 72 x + 72$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} + 72 x + 72 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} + 72 x + 72 = 0$

ステップ 2.2

$12$ を $12 x^{2} + 72 x + 72$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 72 x + 72 = 0$

ステップ 2.2.2

$12$ を $72 x$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 12 (6 x) + 72 = 0$

ステップ 2.2.3

$12$ を $72$ で因数分解します。

$12 x^{2} + 12 (6 x) + 12 \cdot 6 = 0$

ステップ 2.2.4

$12$ を $12 x^{2} + 12 (6 x)$ で因数分解します。

$12 (x^{2} + 6 x) + 12 \cdot 6 = 0$

ステップ 2.2.5

$12$ を $12 (x^{2} + 6 x) + 12 \cdot 6$ で因数分解します。

$12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$

ステップ 2.3

$12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$12 (x^{2} + 6 x + 6) = 0$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 (x^{2} + 6 x + 6)}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 (x^{2} + 6 x + 6)}{12} = \frac{0}{12}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2} + 6 x + 6$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 6 x + 6 = \frac{0}{12}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ を $12$ で割ります。

$x^{2} + 6 x + 6 = 0$

ステップ 2.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5

$a = 1$ 、 $b = 6$ 、および $c = 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.7.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 3 + \sqrt{3}$

ステップ 2.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.8.1.2.2

$- 4$ に $6$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.8.1.3

$36$ から $24$ を引きます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.8.1.4

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.8.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 3 \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 3 - \sqrt{3}$

ステップ 2.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 3 + \sqrt{3}, - 3 - \sqrt{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{3} + 36 x^{2} + 72 x + 8$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 3 + \sqrt{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 3 + \sqrt{3}$ を $x$ に代入します。

$4 {(- 3 + \sqrt{3})}^{3} + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

二項定理を利用します。

$4 ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$4 (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$4 (- 27 + 3 \cdot 9 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.3

$3$ に $9$ をかけます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.4

$3$ に $- 3$ をかけます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.5.4.1

共通因数を約分します。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.5.4.2

式を書き換えます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{1} + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.5.5

指数を求めます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.6

$- 9$ に $3$ をかけます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.7

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{3^{3}}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.8

$3$ を $3$ 乗します。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{27}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.9

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.9.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{9 (3)}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.9.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.2.10

累乗根の下から項を取り出します。

$4 (- 27 + 27 \sqrt{3} - 27 + 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 27$ から $27$ を引きます。

$4 (- 54 + 27 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.4

$27 \sqrt{3}$ と $3 \sqrt{3}$ をたし算します。

$4 (- 54 + 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 \cdot - 54 + 4 (30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.6

$4$ に $- 54$ をかけます。

$- 216 + 4 (30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.7

$30$ に $4$ をかけます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 {(- 3 + \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.8

${(- 3 + \sqrt{3})}^{2}$ を $(- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 ((- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.9

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.9.1

分配則を当てはめます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 (- 3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.9.2

分配則を当てはめます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.9.3

分配則を当てはめます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.10

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.10.1.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.10.1.2

$- 3$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.10.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.10.1.4

$3$ に $3$ をかけます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.10.1.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.10.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.10.2

$9$ と $3$ をたし算します。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.10.3

$- 3 \sqrt{3}$ から $3 \sqrt{3}$ を引きます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 (12 - 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.11

分配則を当てはめます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 36 \cdot 12 + 36 (- 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.12

$36$ に $12$ をかけます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 + 36 (- 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.13

$- 6$ に $36$ をかけます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} + 72 (- 3 + \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.1.2.1.14

分配則を当てはめます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} + 72 \cdot - 3 + 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.1.2.1.15

$72$ に $- 3$ をかけます。

$- 216 + 120 \sqrt{3} + 432 - 216 \sqrt{3} - 216 + 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.1.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$- 216$ と $432$ をたし算します。

$216 + 120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} - 216 + 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.1.2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.2.1

$216$ から $216$ を引きます。

$0 + 120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.1.2.2.2.2

$0$ と $120 \sqrt{3}$ をたし算します。

$120 \sqrt{3} - 216 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.1.2.2.3

$120 \sqrt{3}$ から $216 \sqrt{3}$ を引きます。

$- 96 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.1.2.2.4

$- 96 \sqrt{3}$ と $72 \sqrt{3}$ をたし算します。

$- 24 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.2

$x = - 3 - \sqrt{3}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 3 - \sqrt{3}$ を $x$ に代入します。

$4 {(- 3 - \sqrt{3})}^{3} + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

二項定理を利用します。

$4 ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$4 (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$4 (- 27 + 3 \cdot 9 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.3

$3$ に $9$ をかけます。

$4 (- 27 + 27 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.4

$- 1$ に $27$ をかけます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.5

$3$ に $- 3$ をかけます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.6

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.8

${\sqrt{3}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.9

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.9.4.1

共通因数を約分します。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.9.4.2

式を書き換えます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3^{1} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.9.5

指数を求めます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 9 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.10

$- 9$ に $3$ をかけます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.11

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - {\sqrt{3}}^{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.13

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{3^{3}}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.14

$3$ を $3$ 乗します。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{27}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.15

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.15.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{9 (3)}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.15.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.16

累乗根の下から項を取り出します。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - (3 \sqrt{3})) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.2.17

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 (- 27 - 27 \sqrt{3} - 27 - 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 27$ から $27$ を引きます。

$4 (- 54 - 27 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 27 \sqrt{3}$ から $3 \sqrt{3}$ を引きます。

$4 (- 54 - 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 \cdot - 54 + 4 (- 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.6

$4$ に $- 54$ をかけます。

$- 216 + 4 (- 30 \sqrt{3}) + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.7

$- 30$ に $4$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 {(- 3 - \sqrt{3})}^{2} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.8

${(- 3 - \sqrt{3})}^{2}$ を $(- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ に書き換えます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 ((- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.9

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.9.1

分配則を当てはめます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 (- 3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.9.2

分配則を当てはめます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.9.3

分配則を当てはめます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (- 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.10.1.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 - 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.4

$- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.10.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.4.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.4.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.10.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.10.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.5.4.2

式を書き換えます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{1}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.1.5.5

指数を求めます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.2

$9$ と $3$ をたし算します。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.10.3

$3 \sqrt{3}$ と $3 \sqrt{3}$ をたし算します。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 (12 + 6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.11

分配則を当てはめます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 36 \cdot 12 + 36 (6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.12

$36$ に $12$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 36 (6 \sqrt{3}) + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.13

$6$ に $36$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} + 72 (- 3 - \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.14

分配則を当てはめます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} + 72 \cdot - 3 + 72 (- \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.15

$72$ に $- 3$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} - 216 + 72 (- \sqrt{3}) + 8$

ステップ 4.2.2.1.16

$- 1$ に $72$ をかけます。

$- 216 - 120 \sqrt{3} + 432 + 216 \sqrt{3} - 216 - 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.2.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$- 216$ と $432$ をたし算します。

$216 - 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 216 - 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.2.2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.2.1

$216$ から $216$ を引きます。

$0 - 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.2.2.2.2.2

$0$ から $120 \sqrt{3}$ を引きます。

$- 120 \sqrt{3} + 216 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 120 \sqrt{3}$ と $216 \sqrt{3}$ をたし算します。

$96 \sqrt{3} - 72 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.2.2.2.4

$96 \sqrt{3}$ から $72 \sqrt{3}$ を引きます。

$24 \sqrt{3} + 8$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 3 + \sqrt{3}, - 24 \sqrt{3} + 8), (- 3 - \sqrt{3}, 24 \sqrt{3} + 8)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例