微分積分例

6 sin (x) + 6 cos (x)

$6 \sin (x) + 6 \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、

6 sin (x) + 6 cos (x)

$6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [6 sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 cos (x)]

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ です。

\frac{d}{d x} [6 sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 cos (x)]

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

\frac{d}{d x} [6 sin (x)]

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

6

$6$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

6 sin (x)

$6 \sin (x)$ の微分係数は

6 \frac{d}{d x} [sin (x)]

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

6 \frac{d}{d x} [sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 cos (x)]

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

x

$x$ に関する

sin (x)

$\sin (x)$ の微分係数は

cos (x)

$\cos (x)$ です。

6 cos (x) + \frac{d}{d x} [6 cos (x)]

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

6 cos (x) + \frac{d}{d x} [6 cos (x)]

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

\frac{d}{d x} [6 cos (x)]

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

6

$6$ は

x

$x$ に対して定数なので、

x

$x$ に対する

6 cos (x)

$6 \cos (x)$ の微分係数は

6 \frac{d}{d x} [cos (x)]

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

6 cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [cos (x)]

$6 \cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

x

$x$ に関する

cos (x)

$\cos (x)$ の微分係数は

- sin (x)

$- \sin (x)$ です。

6 cos (x) + 6 (- sin (x))

$6 \cos (x) + 6 (- \sin (x))$

ステップ 1.1.3.3

- 1

$- 1$ に

6

$6$ をかけます。

$f' (x) = 6 \cos (x) - 6 \sin (x)$

ステップ 1.2

$x$ に関する

$f (x)$ の一次導関数は

$6 \cos (x) - 6 \sin (x)$ です。

$6 \cos (x) - 6 \sin (x)$

ステップ 2

一次導関数を

$0$ と等しくし、次に方程式

$6 \cos (x) - 6 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を

$0$ に等しくします。

$6 \cos (x) - 6 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の各項を

$\cos (x)$ で割ります。

$\frac{6 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.3.2

$6$ を

$1$ で割ります。

$6 + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.4

分数を分解します。

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を

$\tan (x)$ に変換します。

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.6

$- 6$ を

$1$ で割ります。

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 2.7

分数を分解します。

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を

$\sec (x)$ に変換します。

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 2.9

$0$ を

$1$ で割ります。

$6 - 6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 2.10

$0$ に

$\sec (x)$ をかけます。

$6 - 6 \tan (x) = 0$

ステップ 2.11

方程式の両辺から

$6$ を引きます。

$- 6 \tan (x) = - 6$

ステップ 2.12

$- 6 \tan (x) = - 6$ の各項を

$- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.12.1

$- 6 \tan (x) = - 6$ の各項を

$- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

ステップ 2.12.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

ステップ 2.12.2.1.2

$\tan (x)$ を

$1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 6}{- 6}$

ステップ 2.12.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.1

$- 6$ を

$- 6$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 2.13

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 2.14

右辺を簡約します。

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ステップ 2.14.1

$\arctan (1)$ の厳密値は

$\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.15

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 2.16

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.16.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.16.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.16.2.1

$π$ と

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.16.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 2.16.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.16.3.1

$4$ を

$π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 2.16.3.2

$4 π$ と

$π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 2.17

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.17.1

関数の期間は

$\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.17.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.17.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.17.4

$π$ を

$1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.18

$\tan (x)$ 関数の周期が

$π$ なので、両方向で

$π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が

$0$ または未定義のとき、各

$x$ における

$6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{π}{4}$ を

$x$ に代入します。

$6 \sin (\frac{π}{4}) + 6 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$6 \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.2.1

$2$ を

$6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$3 \sqrt{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$3 \sqrt{2} + 6 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

$2$ を

$6$ で因数分解します。

$3 \sqrt{2} + 2 (3) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$3 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.1.4.3

式を書き換えます。

$3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}$

ステップ 4.1.2.2

$3 \sqrt{2}$ と

$3 \sqrt{2}$ をたし算します。

$6 \sqrt{2}$

ステップ 4.2

$x = \frac{5 π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{5 π}{4}$ を

$x$ に代入します。

$6 \sin (\frac{5 π}{4}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$6 (- \sin (\frac{π}{4})) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$2$ を

$6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.3.4

式を書き換えます。

$3 (- \sqrt{2}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 1$ に

$3$ をかけます。

$- 3 \sqrt{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 4.2.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- 3 \sqrt{2} + 6 (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 4.2.2.1.6

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 3 \sqrt{2} + 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4.2.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.7.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 3 \sqrt{2} + 6 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.7.2

$2$ を

$6$ で因数分解します。

$- 3 \sqrt{2} + 2 (3) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$- 3 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.2.1.7.4

式を書き換えます。

$- 3 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2})$

ステップ 4.2.2.1.8

$- 1$ に

$3$ をかけます。

$- 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}$

ステップ 4.2.2.2

$- 3 \sqrt{2}$ から

$3 \sqrt{2}$ を引きます。

$- 6 \sqrt{2}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 6 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 6 \sqrt{2})$ 、任意の整数

$n$

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 6 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 6 \sqrt{2})$ 、任意の整数

$n$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例