微分積分例

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$f (x) = - x - 6$ および $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2

総和則では、 $- x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.5

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 6$ とします。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.6.3

$u$ のすべての発生を $x - 6$ で置き換えます。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.7

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.9

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.11

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.12

$- 1$ を ${(x - 6)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.13

$- 1 {(x - 6)}^{2}$ を $- {(x - 6)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.15

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.16

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.17

${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.17.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.17.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.18

$x - 6$ を $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.2.18.1

$x - 6$ を $- {(x - 6)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.18.2

$x - 6$ を $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.18.3

$x - 6$ を $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.19

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.19.1

$x - 6$ を ${(x - 6)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.19.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.19.3

式を書き換えます。

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

ステップ 1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

ステップ 1.1.4.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.3.1

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

ステップ 1.1.4.3.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

ステップ 1.1.4.3.3

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

ステップ 1.1.4.3.4

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

ステップ 1.1.4.3.5

$6$ と $12$ をたし算します。

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

ステップ 1.1.4.3.6

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ です。

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x + 18 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$x = - 18$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 6)}^{3} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 18$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 18$ を $x$ に代入します。

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ に $- 18$ をかけます。

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

ステップ 4.1.2.1.2

$18$ から $6$ を引きます。

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

ステップ 4.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1.1

$- 18$ から $6$ を引きます。

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

ステップ 4.1.2.2.1.2

$- 24$ を $2$ 乗します。

$\frac{12}{576} + 9$

ステップ 4.1.2.2.2

$12$ と $576$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.2.1

$12$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

ステップ 4.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.2.2.1

$12$ を $576$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

ステップ 4.1.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

ステップ 4.1.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{48} + 9$

ステップ 4.1.2.3

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{48}{48}$ を掛けます。

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

ステップ 4.1.2.4

$9$ と $\frac{48}{48}$ をまとめます。

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

ステップ 4.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

ステップ 4.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.6.1

$9$ に $48$ をかけます。

$\frac{1 + 432}{48}$

ステップ 4.1.2.6.2

$1$ と $432$ をたし算します。

$\frac{433}{48}$

ステップ 4.2

$x = 6$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$6$ を $x$ に代入します。

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

ステップ 4.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

ステップ 4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 18, \frac{433}{48})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例