微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$x$ を $x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

分子を0に等しくします。

$x (x - 2) = 0$

ステップ 2.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.2.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.2.4

最終解は $x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 3

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 1}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

ステップ 3.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 3.2.3

$0$ を $- 1$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 3.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4

$x = 2$ における元の関数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{(2) - 1}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \frac{4}{2 - 1}$

ステップ 4.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = \frac{4}{1}$

ステップ 4.2.3

$4$ を $1$ で割ります。

$f (2) = 4$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 5

関数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ の水平接線は $y = 0, y = 4$ です。

$y = 0, y = 4$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例