微分積分例

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.3.3

${(x - 9)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 9$ とします。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.4.3

$u$ のすべての発生を $x - 9$ で置き換えます。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.5.2

$x - 9$ を ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

$x - 9$ を ${(x - 9)}^{2}$ で因数分解します。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.5.2.2

$x - 9$ を $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ で因数分解します。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.5.2.3

$x - 9$ を $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ で因数分解します。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

ステップ 1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

$x - 9$ を ${(x - 9)}^{4}$ で因数分解します。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.6.2

共通因数を約分します。

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.6.3

式を書き換えます。

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.7

総和則では、 $x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.9

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.10

項を簡約します。

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ステップ 1.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.10.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.10.3

$x$ から $2 x$ を引きます。

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.10.4

$6$ と $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11

簡約します。

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ステップ 1.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.11.2.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.2.2

$6$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.3

$6$ を $- 6 x - 54$ で因数分解します。

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ステップ 1.11.3.1

$6$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.3.2

$6$ を $- 54$ で因数分解します。

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.3.3

$6$ を $6 (- x) + 6 (- 9)$ で因数分解します。

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.5

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (9)$ で因数分解します。

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.7

$- (x + 9)$ を $- 1 (x + 9)$ に書き換えます。

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 1.11.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

分子を0に等しくします。

$6 (x + 9) = 0$

ステップ 2.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

$6 (x + 9) = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$6 (x + 9) = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$x + 9$ を $1$ で割ります。

$x + 9 = \frac{0}{6}$

ステップ 2.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$x + 9 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 3

$x = - 9$ における元の関数 $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 9$ で置換えます。

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$6$ に $- 9$ をかけます。

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 9$ から $9$ を引きます。

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

$- 18$ を $2$ 乗します。

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

ステップ 3.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

$- 54$ と $324$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1.1

$54$ を $- 54$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

ステップ 3.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1.2.1

$54$ を $324$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

ステップ 3.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

ステップ 3.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

ステップ 3.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

ステップ 3.2.4

最終的な答えは $- \frac{1}{6}$ です。

$- \frac{1}{6}$

ステップ 4

関数 $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ の水平接線は $y = - \frac{1}{6}$ です。

$y = - \frac{1}{6}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例