微分積分例

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x - 5$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + x^{2} - 5 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.2.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

ステップ 1.1.3.2

$3 x^{2} + 2 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 2 x - 5$ です。

$3 x^{2} + 2 x - 5$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$2$ を $- 3$ プラス $5$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$3 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$3 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $3 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$3 x = - 5$

ステップ 2.5.2.2

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{3}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{3}$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{5}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} + x^{2} - 5 x - 5$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 5$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 5$

ステップ 4.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 1 - 5 \cdot 1 - 5$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 - 5 - 5$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - 5 - 5$

ステップ 4.1.2.2.2

$2$ から $5$ を引きます。

$- 3 - 5$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 3$ から $5$ を引きます。

$- 8$

ステップ 4.2

$x = - \frac{5}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- \frac{5}{3}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.3

$5$ を $3$ 乗します。

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.2.1.5.1

積の法則を $- \frac{5}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.5.2

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.6

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.7

$\frac{5^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.8

$5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.10

$- 5 (- \frac{5}{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.10.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) - 5$

ステップ 4.2.2.1.10.2

$5$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} - 5$

ステップ 4.2.2.1.10.3

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 5$

ステップ 4.2.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.2.2.2.1

$\frac{25}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} - 5$

ステップ 4.2.2.2.2

$\frac{25}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} - 5$

ステップ 4.2.2.2.3

$\frac{25}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} - 5$

ステップ 4.2.2.2.4

$\frac{25}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 5$

ステップ 4.2.2.2.5

$- 5$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5}{1}$

ステップ 4.2.2.2.6

$\frac{- 5}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 4.2.2.2.7

$\frac{- 5}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 - 5 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.4.1

$25$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 - 5 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.4.2

$25$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 5 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.2.2.4.3

$- 5$ に $27$ をかけます。

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 135}{27}$

ステップ 4.2.2.5

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.5.1

$- 125$ と $75$ をたし算します。

$\frac{- 50 + 225 - 135}{27}$

ステップ 4.2.2.5.2

$- 50$ と $225$ をたし算します。

$\frac{175 - 135}{27}$

ステップ 4.2.2.5.3

$175$ から $135$ を引きます。

$\frac{40}{27}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - 8), (- \frac{5}{3}, \frac{40}{27})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例