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微分積分 例
f(x)=x2(x2-4)f(x)=x2(x2−4)
ステップ 1
ステップ 1.1
一次導関数を求めます。
ステップ 1.1.1
f(x)=x2およびg(x)=x2-4のとき、ddx[f(x)g(x)]はf(x)ddx[g(x)]+g(x)ddx[f(x)]であるという積の法則を使って微分します。
f′(x)=x2ddx(x2-4)+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.2
微分します。
ステップ 1.1.2.1
総和則では、x2-4のxに関する積分はddx[x2]+ddx[-4]です。
f′(x)=x2(ddx(x2)+ddx(-4))+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.2.2
n=2のとき、ddx[xn]はnxn-1であるというべき乗則を使って微分します。
f′(x)=x2(2x+ddx(-4))+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.2.3
-4はxについて定数なので、xについて-4の微分係数は0です。
f′(x)=x2(2x+0)+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.2.4
2xと0をたし算します。
f′(x)=x2(2x)+(x2-4)ddx(x2)
f′(x)=x2(2x)+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.3
指数を足してx2にxを掛けます。
ステップ 1.1.3.1
xを移動させます。
f′(x)=x⋅x2⋅2+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.3.2
xにx2をかけます。
ステップ 1.1.3.2.1
xを1乗します。
f′(x)=x⋅x2⋅2+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.3.2.2
べき乗則aman=am+nを利用して指数を組み合わせます。
f′(x)=x1+2⋅2+(x2-4)ddx(x2)
f′(x)=x1+2⋅2+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.3.3
1と2をたし算します。
f′(x)=x3⋅2+(x2-4)ddx(x2)
f′(x)=x3⋅2+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.4
2をx3の左に移動させます。
f′(x)=2⋅x3+(x2-4)ddx(x2)
ステップ 1.1.5
n=2のとき、ddx[xn]はnxn-1であるというべき乗則を使って微分します。
f′(x)=2x3+(x2-4)(2x)
ステップ 1.1.6
2をx2-4の左に移動させます。
f′(x)=2x3+2⋅((x2-4)x)
ステップ 1.1.7
簡約します。
ステップ 1.1.7.1
分配則を当てはめます。
f′(x)=2x3+(2x2+2⋅-4)x
ステップ 1.1.7.2
分配則を当てはめます。
f′(x)=2x3+2x2x+2⋅(-4x)
ステップ 1.1.7.3
項をまとめます。
ステップ 1.1.7.3.1
xを1乗します。
f′(x)=2x3+2(x⋅x2)+2⋅(-4x)
ステップ 1.1.7.3.2
べき乗則aman=am+nを利用して指数を組み合わせます。
f′(x)=2x3+2x1+2+2⋅(-4x)
ステップ 1.1.7.3.3
1と2をたし算します。
f′(x)=2x3+2x3+2⋅(-4x)
ステップ 1.1.7.3.4
2に-4をかけます。
f′(x)=2x3+2x3-8x
ステップ 1.1.7.3.5
2x3と2x3をたし算します。
f′(x)=4x3-8x
f′(x)=4x3-8x
f′(x)=4x3-8x
f′(x)=4x3-8x
ステップ 1.2
xに関するf(x)の一次導関数は4x3-8xです。
4x3-8x
4x3-8x
ステップ 2
ステップ 2.1
一次導関数を0に等しくします。
4x3-8x=0
ステップ 2.2
4xを4x3-8xで因数分解します。
ステップ 2.2.1
4xを4x3で因数分解します。
4x(x2)-8x=0
ステップ 2.2.2
4xを-8xで因数分解します。
4x(x2)+4x(-2)=0
ステップ 2.2.3
4xを4x(x2)+4x(-2)で因数分解します。
4x(x2-2)=0
4x(x2-2)=0
ステップ 2.3
方程式の左辺の個々の因数が0と等しいならば、式全体は0と等しくなります。
x=0
x2-2=0
ステップ 2.4
xが0に等しいとします。
x=0
ステップ 2.5
x2-2を0に等しくし、xを解きます。
ステップ 2.5.1
x2-2が0に等しいとします。
x2-2=0
ステップ 2.5.2
xについてx2-2=0を解きます。
ステップ 2.5.2.1
方程式の両辺に2を足します。
x2=2
ステップ 2.5.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
x=±√2
ステップ 2.5.2.3
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
ステップ 2.5.2.3.1
まず、±の正の数を利用し、1番目の解を求めます。
x=√2
ステップ 2.5.2.3.2
次に、±の負の値を利用し。2番目の解を求めます。
x=-√2
ステップ 2.5.2.3.3
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
x=√2,-√2
x=√2,-√2
x=√2,-√2
x=√2,-√2
ステップ 2.6
最終解は4x(x2-2)=0を真にするすべての値です。
x=0,√2,-√2
x=0,√2,-√2
ステップ 3
ステップ 3.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 4
ステップ 4.1
x=0での値を求めます。
ステップ 4.1.1
0をxに代入します。
(0)2((0)2-4)
ステップ 4.1.2
簡約します。
ステップ 4.1.2.1
0を正数乗し、0を得ます。
0((0)2-4)
ステップ 4.1.2.2
0を正数乗し、0を得ます。
0(0-4)
ステップ 4.1.2.3
0から4を引きます。
0⋅-4
ステップ 4.1.2.4
0に-4をかけます。
0
0
0
ステップ 4.2
x=√2での値を求めます。
ステップ 4.2.1
√2をxに代入します。
(√2)2((√2)2-4)
ステップ 4.2.2
簡約します。
ステップ 4.2.2.1
√22を2に書き換えます。
ステップ 4.2.2.1.1
n√ax=axnを利用し、√2を212に書き換えます。
(212)2((√2)2-4)
ステップ 4.2.2.1.2
べき乗則を当てはめて、指数(am)n=amnをかけ算します。
212⋅2((√2)2-4)
ステップ 4.2.2.1.3
12と2をまとめます。
222((√2)2-4)
ステップ 4.2.2.1.4
2の共通因数を約分します。
ステップ 4.2.2.1.4.1
共通因数を約分します。
222((√2)2-4)
ステップ 4.2.2.1.4.2
式を書き換えます。
21((√2)2-4)
21((√2)2-4)
ステップ 4.2.2.1.5
指数を求めます。
2((√2)2-4)
2((√2)2-4)
ステップ 4.2.2.2
√22を2に書き換えます。
ステップ 4.2.2.2.1
n√ax=axnを利用し、√2を212に書き換えます。
2((212)2-4)
ステップ 4.2.2.2.2
べき乗則を当てはめて、指数(am)n=amnをかけ算します。
2(212⋅2-4)
ステップ 4.2.2.2.3
12と2をまとめます。
2(222-4)
ステップ 4.2.2.2.4
2の共通因数を約分します。
ステップ 4.2.2.2.4.1
共通因数を約分します。
2(222-4)
ステップ 4.2.2.2.4.2
式を書き換えます。
2(21-4)
2(21-4)
ステップ 4.2.2.2.5
指数を求めます。
2(2-4)
2(2-4)
ステップ 4.2.2.3
式を簡約します。
ステップ 4.2.2.3.1
2から4を引きます。
2⋅-2
ステップ 4.2.2.3.2
2に-2をかけます。
-4
-4
-4
-4
ステップ 4.3
x=-√2での値を求めます。
ステップ 4.3.1
-√2をxに代入します。
(-√2)2((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2
簡約します。
ステップ 4.3.2.1
累乗根で指数を約分し簡約します。
ステップ 4.3.2.1.1
積の法則を-√2に当てはめます。
(-1)2√22((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.1.2
式を簡約します。
ステップ 4.3.2.1.2.1
-1を2乗します。
1√22((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.1.2.2
√22に1をかけます。
√22((-√2)2-4)
√22((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.1.3
√22を2に書き換えます。
ステップ 4.3.2.1.3.1
n√ax=axnを利用し、√2を212に書き換えます。
(212)2((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.1.3.2
べき乗則を当てはめて、指数(am)n=amnをかけ算します。
212⋅2((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.1.3.3
12と2をまとめます。
222((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.1.3.4
2の共通因数を約分します。
ステップ 4.3.2.1.3.4.1
共通因数を約分します。
222((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.1.3.4.2
式を書き換えます。
21((-√2)2-4)
21((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.1.3.5
指数を求めます。
2((-√2)2-4)
2((-√2)2-4)
2((-√2)2-4)
ステップ 4.3.2.2
各項を簡約します。
ステップ 4.3.2.2.1
積の法則を-√2に当てはめます。
2((-1)2√22-4)
ステップ 4.3.2.2.2
-1を2乗します。
2(1√22-4)
ステップ 4.3.2.2.3
√22に1をかけます。
2(√22-4)
ステップ 4.3.2.2.4
√22を2に書き換えます。
ステップ 4.3.2.2.4.1
n√ax=axnを利用し、√2を212に書き換えます。
2((212)2-4)
ステップ 4.3.2.2.4.2
べき乗則を当てはめて、指数(am)n=amnをかけ算します。
2(212⋅2-4)
ステップ 4.3.2.2.4.3
12と2をまとめます。
2(222-4)
ステップ 4.3.2.2.4.4
2の共通因数を約分します。
ステップ 4.3.2.2.4.4.1
共通因数を約分します。
2(222-4)
ステップ 4.3.2.2.4.4.2
式を書き換えます。
2(21-4)
2(21-4)
ステップ 4.3.2.2.4.5
指数を求めます。
2(2-4)
2(2-4)
2(2-4)
ステップ 4.3.2.3
式を簡約します。
ステップ 4.3.2.3.1
2から4を引きます。
2⋅-2
ステップ 4.3.2.3.2
2に-2をかけます。
-4
-4
-4
-4
ステップ 4.4
点のすべてを一覧にします。
(0,0),(√2,-4),(-√2,-4)
(0,0),(√2,-4),(-√2,-4)
ステップ 5