微分積分例

$f (x) = \frac{5}{3 x - 2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{3 x - 2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{1}{3 x - 2}$ を ${(3 x - 2)}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 3 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 2$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 2$ で置き換えます。

$5 (- {(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 ({(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.1.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.1.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.1.3.6

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + 0)$

ステップ 1.1.3.7

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} \cdot 3$

ステップ 1.1.3.7.2

$3$ に $- 5$ をかけます。

$- 15 {(3 x - 2)}^{- 2}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 15 \frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 15$ と $\frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ です。

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$15 = 0$

ステップ 2.3

$15 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 3.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 3.2.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{5}{3 x - 2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{2}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{2}{3}$ を $x$ に代入します。

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

ステップ 4.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{2 - 2}$

ステップ 4.1.2.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{5}{0}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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