微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 4}$ を ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.10

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.11

項を簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 1.1.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 1.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.11.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.11.5

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

ステップ 3.2

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x^{2} - 4} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 4}$ を ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} - 4 = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.3.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 3.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 3.3.3.3

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.3.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 3.3.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 3.3.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 3.3.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 3.4

$\sqrt{x^{2} - 4}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 4 < 0$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

不等式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} < 4$

ステップ 3.5.2

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{4}$

ステップ 3.5.3

方程式を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | < \sqrt{4}$

ステップ 3.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$\sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | < \sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | < | 2 |$

ステップ 3.5.3.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | < 2$

ステップ 3.5.4

$| x | < 2$ を区分で書きます。

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ステップ 3.5.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 3.5.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x < 2$

ステップ 3.5.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 3.5.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x < 2$

ステップ 3.5.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x < 2 & x \geq 0 \\ - x < 2 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 3.5.5

$x < 2$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x < 2$

ステップ 3.5.6

$x < 0$ のとき、 $- x < 2$ を解きます。

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ステップ 3.5.6.1

$- x < 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.6.1.1

$- x < 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{2}{- 1}$

ステップ 3.5.6.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.6.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} > \frac{2}{- 1}$

ステップ 3.5.6.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x > \frac{2}{- 1}$

ステップ 3.5.6.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.6.1.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x > - 2$

ステップ 3.5.6.2

$x > - 2$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 2 < x < 0$

ステップ 3.5.7

解の和集合を求めます。

$- 2 < x < 2$

ステップ 3.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt{x^{2} - 4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt{0 - 4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{- 4}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 4.1.2.3

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 4.1.2.4

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 4.1.2.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$i \cdot 2$

ステップ 4.1.2.7

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$2 i$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{{(- 2)}^{2} - 4}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 - 4}$

ステップ 4.2.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{0}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 4.3

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} - 4}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 - 4}$

ステップ 4.3.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{0}$

ステップ 4.3.2.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.3.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, 0), (2, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例