微分積分例

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + 4}$ を ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.1.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

ステップ 1.1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.11.2

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ を ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.3.1

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.1.2.1.2

${(x + 4)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

ステップ 3.3.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.3.3.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt[3]{x + 4}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt[3]{0}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.1.2.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- 4, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例