微分積分例

$f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 3)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x - 1) (x - 3))$

ステップ 1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 3))$

ステップ 1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 3))$

ステップ 1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

ステップ 1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

ステップ 1.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

ステップ 1.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

ステップ 1.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

ステップ 1.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x + 1) (x - 3))$

ステップ 1.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 3))$

ステップ 1.1.4

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1.1.5

微分します。

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ステップ 1.1.5.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1.1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1.1.5.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1.1.5.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1.1.5.4.2

$x^{2} - 2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1.1.5.5

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.1.5.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.1.5.7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.1.5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.1.5.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.1.5.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + 0)$

ステップ 1.1.5.11

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2)$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.4

項をまとめます。

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ステップ 1.1.6.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.4.5

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.4.6

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2$

ステップ 1.1.6.4.7

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6$

ステップ 1.1.6.4.8

$- 6 x$ から $2 x$ を引きます。

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 8 x + 6$

ステップ 1.1.6.4.9

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1 - 8 x + 6$

ステップ 1.1.6.4.10

$- 2 x$ から $8 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 1 + 6$

ステップ 1.1.6.4.11

$1$ と $6$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 7$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 10 x + 7$ です。

$3 x^{2} - 10 x + 7$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$- 10$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 10$ を $- 3$ プラス $- 7$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7 = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 x (x - 1) - 7 (x - 1) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (3 x - 7) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$3 x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$3 x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 7 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $3 x - 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$3 x = 7$

ステップ 2.5.2.2

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{3}$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 1) (3 x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, \frac{7}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x - 1)}^{2} (x - 3)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

${((1) - 1)}^{2} ((1) - 3)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$0^{2} ((1) - 3)$

ステップ 4.1.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 ((1) - 3)$

ステップ 4.1.2.3

$1$ から $3$ を引きます。

$0 \cdot - 2$

ステップ 4.1.2.4

$0$ に $- 2$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = \frac{7}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{7}{3}$ を $x$ に代入します。

${((\frac{7}{3}) - 1)}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

${(\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2.2

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

${(\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

${(\frac{7 - 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.2.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

${(\frac{7 - 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2.4.2

$7$ から $3$ を引きます。

${(\frac{4}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2.5

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$\frac{4^{2}}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2.6

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{16}{9} ((\frac{7}{3}) - 3)$

ステップ 4.2.2.8

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 4.2.2.9

$- 3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

ステップ 4.2.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 3 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.2.2.11

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.2.11.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 9}{3}$

ステップ 4.2.2.11.2

$7$ から $9$ を引きます。

$\frac{16}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

ステップ 4.2.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$

ステップ 4.2.2.13

$\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.13.1

$\frac{16}{9}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$- \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

ステップ 4.2.2.13.2

$16$ に $2$ をかけます。

$- \frac{32}{9 \cdot 3}$

ステップ 4.2.2.13.3

$9$ に $3$ をかけます。

$- \frac{32}{27}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 0), (\frac{7}{3}, - \frac{32}{27})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例