微分積分例

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = {(x - 1)}^{2}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2$ を $x - 3$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.8

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 6) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.3.1.3

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.3.2

$- 2 x$ から $6 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.4

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.6.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.6.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.6.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.6.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.6.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.7

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.8.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.3

$- 8 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.4

$6$ から $1$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 5$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.4.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $- 6$ です。

$- 5, - 1$

ステップ 1.1.4.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ です。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$(x - 5) (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.3.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.3.4

最終解は $(x - 5) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 5$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16}{5 - 3}$

ステップ 4.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$5$ から $3$ を引きます。

$\frac{16}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2

$16$ を $2$ で割ります。

$8$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

ステップ 4.2.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{1 - 3}$

ステップ 4.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{- 2}$

ステップ 4.2.2.2.2

$0$ を $- 2$ で割ります。

$0$

ステップ 4.3

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3$ を $x$ に代入します。

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

ステップ 4.3.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(5, 8), (1, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例