微分積分例

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{7}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

ステップ 1.1.2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x)$

ステップ 1.1.2.4.2

$2$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = 14 {(x^{2} - 4)}^{6} x$

ステップ 1.1.2.4.3

$14 {(x^{2} - 4)}^{6} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$ です。

$14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(x^{2} - 4)}^{6}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x^{2} - 4)}^{6}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2} - 2^{2})}^{6} = 0$

ステップ 2.4.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

${((x + 2) (x - 2))}^{6} = 0$

ステップ 2.4.2.1.3

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6} = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 2)}^{6} = 0$

${(x - 2)}^{6} = 0$

ステップ 2.4.2.3

${(x + 2)}^{6}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.3.1

${(x + 2)}^{6}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{6} = 0$

ステップ 2.4.2.3.2

$x$ について ${(x + 2)}^{6} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.3.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2.3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4.2.4

${(x - 2)}^{6}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.4.1

${(x - 2)}^{6}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{6} = 0$

ステップ 2.4.2.4.2

$x$ について ${(x - 2)}^{6} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.4.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4.2.4.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4.2.5

最終解は ${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 2.5

最終解は $14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(x^{2} - 4)}^{7}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${({(0)}^{2} - 4)}^{7}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(0 - 4)}^{7}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

${(- 4)}^{7}$

ステップ 4.1.2.3

$- 4$ を $7$ 乗します。

$- 16384$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{7}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

${(4 - 4)}^{7}$

ステップ 4.2.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$0^{7}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.3

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $x$ に代入します。

${({(2)}^{2} - 4)}^{7}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

${(4 - 4)}^{7}$

ステップ 4.3.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$0^{7}$

ステップ 4.3.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 16384), (- 2, 0), (2, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

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