微分積分例

$\cos (a^{8} + x^{8})$

ステップ 1

$f (a) = \cos (a)$ および $g (a) = a^{8} + x^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a^{8} + x^{8}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d a} [a^{8} + x^{8}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d a} [a^{8} + x^{8}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $a^{8} + x^{8}$ で置き換えます。

$- \sin (a^{8} + x^{8}) \frac{d}{d a} [a^{8} + x^{8}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $a^{8} + x^{8}$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a^{8}] + \frac{d}{d a} [x^{8}]$ です。

$- \sin (a^{8} + x^{8}) (\frac{d}{d a} [a^{8}] + \frac{d}{d a} [x^{8}])$

ステップ 2.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (a^{8} + x^{8}) (8 a^{7} + \frac{d}{d a} [x^{8}])$

ステップ 2.3

$x^{8}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $x^{8}$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (a^{8} + x^{8}) (8 a^{7} + 0)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$8 a^{7}$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (a^{8} + x^{8}) (8 a^{7})$

ステップ 2.4.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$- 8 \sin (a^{8} + x^{8}) a^{7}$

ステップ 2.4.3

$- 8 \sin (a^{8} + x^{8}) a^{7}$ の因数を並べ替えます。

$- 8 a^{7} \sin (a^{8} + x^{8})$

微分積分 例