微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$- {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$- {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 1.1.3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- {(x + 3)}^{- 2}$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ です。

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{1}{x + 3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{(- 3) + 3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{0}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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